Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейные однородные и неоднородные ДУ первого порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Линейным (неоднородным) дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

$y'+p\left(x\right)y=f\left(x\right) \qquad (1)$

Функции $p\left(x\right)$ и $f\left(x\right)$ , входящие в уравнение, являются непрерывными на некотором интервале $\left(a;\; b\right)$ , на котором ищется решение рассматриваемого уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если функция $f\left(x\right)\equiv 0$ , то уравнение (1) принимает вид

$y'+p\left(x\right)y=0 \qquad (2)$

и называется линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка или линейным уравнением без правой части.

ЗАМЕЧАНИЕ

Уравнение (2) является уравнением с разделяющимися переменными.

ЗАМЕЧАНИЕ

Уравнение (2) является однородным дифференциальным уравнением по правой части.

ПРИМЕР

Задание

Решить дифференциальное уравнение $y'+y=0$

Решение

Данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка, а также уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение, для этого разделим переменные:

$y'+y=0\Rightarrow \frac{dy}{dx} +y=0\Rightarrow \frac{dy}{dx} =-y\Rightarrow \frac{dy}{y} =-dx$

Общий интеграл уравнения

$\int \frac{dy}{y} =-\int dx$

После интегрирования будем иметь:

$\ln \left|y\right|=-x+\ln C$

Потенцируя обе части последнего равенства и используя свойства степеней, будем иметь:

$y=e^{-x+\ln C} =e^{-x} \cdot e^{\ln C} =Ce^{-x}$

Ответ

$y\left(x\right)=Ce^{-x}$ .

Решение неоднородных дифференциальных уравнений первого порядка

1. Метод Бернулли. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (1) ищется в виде

$y\left(x\right)=u\left(x\right)v\left(x\right)$

Отсюда

$y'=u'v+uv'$

После подстановки в уравнение (1), будем иметь:

$u'v+uv'+p\left(x\right)uv=f\left(x\right)$

$u'v+u\left(v'+p\left(x\right)v\right)=f\left(x\right) \qquad (3)$

Функции $u\left(x\right)$ и $v\left(x\right)$ подбираются таким образом, чтобы выражение $v'+p\left(x\right)v$ , стоящее в скобках второго слагаемого, равнялось нулю. То есть уравнение (3) распадается на два уравнения:

$\left\{\begin{array}{l} {v'+p\left(x\right)v=0,} \\ {u'v=f\left(x\right).} \end{array}\right.$

Первое из уравнений системы является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными:

$v'+p\left(x\right)v=0\Rightarrow \frac{dv}{dx} =-p\left(x\right)v\Rightarrow \frac{dv}{v} =-p\left(x\right)dx\Rightarrow$

$\Rightarrow \int \frac{dv}{v} =-\int p\left(x\right)dx \Rightarrow \ln \left|v\right|=-\int p\left(x\right)dx \Rightarrow v=e^{-\int p\left(x\right)dx }$

Второе уравнение системы принимает вид:

$u'e^{-\int p\left(x\right)dx } =f\left(x\right)$

Отсюда

$u'=\frac{f\left(x\right)}{e^{-\int p\left(x\right)dx } } =f\left(x\right)e^{\int p\left(x\right)dx } \Rightarrow u=\int f\left(x\right)e^{\int p\left(x\right)dx } dx +C$

А тогда

$y\left(x\right)=\left(\int f\left(x\right)e^{\int p\left(x\right)dx } dx +C\right)\cdot e^{-\int p\left(x\right)dx }$

ПРИМЕР

Задание

Найти решение уравнения $y'+y=e^{x}$

Решение

Заданное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Его решение будем искать в виде

$y\left(x\right)=u\left(x\right)v\left(x\right)\Rightarrow y'=u'v+uv'$

Тогда исходное уравнение принимает вид:

$u'v+uv'+uv=e^{x}$

или

$u'v+u\left(v'+v\right)=e^{x}$

Данное уравнение распадается на два:

$v'+v=0$

$u'v=e^{x}$

Первое $v'+v=0$ из уравнений является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение. Разделим переменные:

$v'+v=0\Rightarrow \frac{dv}{dx} =-v\Rightarrow \frac{dv}{v} =-dx\Rightarrow \int \frac{dv}{v} =-\int dx \Rightarrow \ln \left|v\right|=-x\Rightarrow v=e^{-x}$

Тогда второе уравнение $u'v=e^{x}$ принимает вид:

$u'e^{-x} =e^{x} \Rightarrow u'=e^{2x} \Rightarrow u=\int e^{2x} dx =\frac{e^{2x} }{2} +C$

Итак, искомое решение:

$y\left(x\right)=\left(\frac{e^{2x} }{2} +C\right)e^{-x} =\frac{e^{x} }{2} +\frac{C}{2e^{x} }$

Введем замену $\frac{C}{2} =\tilde{C}$ , тогда окончательно имеем, что

$y\left(x\right)=\frac{e^{x} }{2} +\tilde{C}e^{-x}$

Ответ

$y\left(x\right)=\frac{e^{x} }{2} +\tilde{C}e^{-x}$

2. Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа). Данный метод заключается в следующем:

1) Вначале ищется общее решение $y_{odn} \left(x\right)$ однородного дифференциального уравнения (2):

$y_{odn} \left(x\right)=f\left(x;\; C\right) \qquad (4)$

2) Далее C считается не константой, а некоторой функцией от переменной x:

$C=C\left(x\right)$

Находим производную $y'_{odn} \left(x\right)$ и в заданное неоднородное дифференциальное уравнение подставляем полученное выражение для $y_{odn} \left(x\right)$ и $y'_{odn} \left(x\right)$ . Из полученного уравнения находим функцию $C\left(x\right)$ .

3) В общее решение (4) однородного уравнения вместо C подставляем найденное выражение $C\left(x\right)$ .

ПРИМЕР

Задание

Найти решение уравнения $y'=3x-\frac{y}{x}$

Решение

Заданное уравнение является линейным неоднородным уравнением типа (1):

$y'+\frac{y}{x} =3x$

Найдем его решение методом вариации произвольной постоянной.

1) Вначале решим соответствующее однородное уравнение

$y'+\frac{y}{x} =0$

Оно является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Поэтому найдем его решение, предварительно разделив переменные:

$\frac{dy}{dx} =-\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{dy}{y} =-\frac{dx}{x} \Rightarrow \int \frac{dy}{y} =-\int \frac{dx}{x} \Rightarrow$

$\Rightarrow \ln \left|y\right|=-\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|\Rightarrow \ln \left|y\right|=\ln \left|\frac{C}{x} \right|$

Итак,

$y_{odn} \left(x\right)=\frac{C}{x}$

2) Варьируем произвольную постоянную C, то есть считаем, что

$C=C\left(x\right)$

Тогда искомое решение неоднородного уравнения

$y\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x} \qquad (5)$

Находим производную записанной функции как производную частного:

$y'\left(x\right)=\left(\frac{C\left(x\right)}{x} \right)^{{'} } =\frac{C'\left(x\right)\cdot x-C\left(x\right)}{x^{2} }$

Полученные выражения для $y\left(x\right)$ и $y'\left(x\right)$ подставляем в исходное уравнение $y'+\frac{y}{x} =3x$ , будем иметь:

$\frac{C'\left(x\right)\cdot x-C\left(x\right)}{x^{2} } +\frac{\frac{C\left(x\right)}{x} }{x} =3x$

$\frac{C'\left(x\right)\cdot x-C\left(x\right)}{x^{2} } +\frac{C\left(x\right)}{x^{2} } =3x\Rightarrow \frac{C'\left(x\right)\cdot x-C\left(x\right)+C\left(x\right)}{x^{2} } =3x\Rightarrow$