Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Определение и формулы ДУ в полных дифференциалах

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальным уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

    \[M\left(x;\; y\right)dx+N\left(x;\; y\right)dy=0 \qquad (1)\]

для которого выполняется равенство

    \[\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial N}{\partial x} \qquad (2)\]

Если в некоторой связной области D функции M\left(x;\; y\right),\; N\left(x;\; y\right) имеют непрерывные частные производные и, причем для них имеет место условие (2), то выражение M\left(x;\; y\right)dx+N\left(x;\; y\right)dy является дифференциалом некоторой функции U\left(x;\; y\right). Можно сделать вывод, что имеют место следующие соотношения:

    \[\frac{\partial U}{\partial x} =M\left(x;\; y\right),\; \frac{\partial U}{\partial y} =N\left(x;\; y\right) \qquad (3)\]

А это означает, что уравнение (1) можно записать в виде

    \[dU\left(x;\; y\right)=0\]

где функция U\left(x;\; y\right) является дважды дифференцируемой функцией.

Для отыскания неизвестной (искомой) функции U\left(x;\; y\right) интегрируем первое равенство в (3) по переменной x, будем иметь:

    \[U\left(x;\; y\right)=\int M\left(x;\; y\right)dx +\varphi \left(y\right) \qquad (4)\]

Здесь \varphi \left(y\right) – неизвестная функция, которую необходимо найти. Далее дифференцируем полученное равенство по переменной y и, с учетом второго равенства в (3), получаем:

    \[\frac{\partial U}{\partial y} =\frac{\partial }{\partial y} \int M\left(x;\; y\right)dx +\varphi '\left(y\right)=N\left(x;\; y\right)\]

Решаем это уравнение относительно функции \varphi '\left(y\right), откуда интегрированием находим и саму функции \varphi \left(y\right). Подставляя полученное выражение в (4) находим и функцию U\left(x;\; y\right).

ЗАМЕЧАНИЕ
Решение уравнения (1) очень часто записывают в виде F\left(x;\; y\right)=C.

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Найти общий интеграл дифференциального уравнения \frac{dx}{y} -\frac{x+y^{2} }{y^{2} } dy=0
Решение Для данного уравнения можно сделать вывод, что функции

    \[M\left(x;\; y\right)=\frac{1}{y} ;\; N\left(x;\; y\right)=-\frac{x+y^{2} }{y^{2} } \]

Находим частные производные по y и x соответственно:

    \[\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial }{\partial y} \left(\frac{1}{y} \right)=-\frac{1}{y^{2} } ;\; \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial }{\partial x} \left(-\frac{x+y^{2} }{y^{2} } \right)=\frac{\partial }{\partial x} \left(-\frac{x}{y^{2} } -1\right)=-\frac{1}{y^{2} } \]

Итак, \frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial N}{\partial x}, а поэтому заданное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. То есть выражение \frac{dx}{y} -\frac{x+y^{2} }{y^{2} } dy является дифференциалом некоторой функции U\left(x;\; y\right), причем справедливы соотношения \frac{\partial U}{\partial x} =M\left(x;\; y\right),\; \frac{\partial U}{\partial y} =N\left(x;\; y\right).

Поскольку \frac{\partial U}{\partial x} =M\left(x;\; y\right), то, проинтегрировав это равенство по x, будем иметь:

    \[U\left(x;\; y\right)=\int M\left(x;\; y\right)dx +\varphi \left(y\right)=\int \frac{1}{y} dx +\varphi \left(y\right)=\frac{1}{y} \int dx +\varphi \left(y\right)=\frac{x}{y} +\varphi \left(y\right)\]

Найдем производную \frac{\partial U}{\partial y}. С одной стороны

    \[\frac{\partial U}{\partial y} =\frac{\partial }{\partial y} \left(\frac{x}{y} +\varphi \left(y\right)\right)=-\frac{x}{y^{2} } +\varphi '\left(y\right)\]

а с другой – \frac{\partial U}{\partial y} =N\left(x;\; y\right)=-\frac{x+y^{2} }{y^{2} }. Таким образом, получаем равенство для нахождения неизвестной функции \varphi \left(y\right):

    \[-\frac{x}{y^{2} } +\varphi '\left(y\right)=-\frac{x+y^{2} }{y^{2} } \]

    \[-\frac{x}{y^{2} } +\varphi '\left(y\right)=-\frac{x}{y^{2} } -1\]

    \[\varphi '\left(y\right)=-1\Rightarrow \int \varphi '\left(y\right)dy =\int \left(-1\right)dy \Rightarrow \varphi \left(y\right)=-y+\tilde{C}\]

А отсюда имеем, что

    \[U\left(x;\; y\right)=\frac{x}{y} +\varphi \left(y\right)=\frac{x}{y} -y+\tilde{C}\]

или

    \[\frac{x}{y} -y=C\]

    \[\frac{x-y^{2} }{y} =C\]

Ответ \frac{x-y^{2} }{y} =C
ПРИМЕР
Задание Решить дифференциальное уравнение

    \[\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } +\frac{1}{x} +\frac{1}{y} \right)dx+\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } +\frac{1}{y} -\frac{x}{y^{2} } \right)dy=0\]

Решение Введем в рассмотрение функции

    \[M\left(x;\; y\right)=\frac{x}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } +\frac{1}{x} +\frac{1}{y} ;\; N\left(x;\; y\right)=\frac{y}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } +\frac{1}{y} -\frac{x}{y^{2} } \]

и найдем частные производные \frac{\partial M}{\partial y} ,\; \frac{\partial N}{\partial x}:

    \[\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial }{\partial y} \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } +\frac{1}{x} +\frac{1}{y} \right)=x\cdot \left(-\frac{1}{2} \left(x^{2} +y^{2} \right)^{^{-\frac{3}{2} } } \cdot 2y\right)+0-\frac{1}{y^{2} } = \]

    \[=-\frac{xy}{\sqrt{\left(x^{2} +y^{2} \right)^{3} } } -\frac{1}{y^{2} } \]

    \[\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial }{\partial x} \left(\frac{y}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } +\frac{1}{y} -\frac{x}{y^{2} } \right)=y\cdot \left(-\frac{1}{2} \left(x^{2} +y^{2} \right)^{^{-\frac{3}{2} } } \cdot 2x\right)+0-\frac{1}{y^{2} } = \]

    \[=-\frac{xy}{\sqrt{\left(x^{2} +y^{2} \right)^{3} } } -\frac{1}{y^{2} } \]

Сравнивая полученные выражения, можно сделать вывод, что \frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial N}{\partial x}, а тогда заданное дифференциальное уравнения является уравнением в полных дифференциалах, то есть выражение \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } +\frac{1}{x} +\frac{1}{y} \right)dx+\left(\frac{y}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } +\frac{1}{y} -\frac{x}{y^{2} } \right)dy является полным дифференциалом некоторой неизвестной функции U\left(x;\; y\right), причем

    \[\frac{\partial U}{\partial x} =M\left(x;\; y\right),\; \frac{\partial U}{\partial y} =N\left(x;\; y\right)\]

Для нахождения этой функции проинтегрируем равенство \frac{\partial U}{\partial x} =M\left(x;\; y\right) переменной x, в результате будем иметь:

    \[U\left(x;\; y\right)=\int M\left(x;\; y\right)dx +\varphi \left(y\right)=\int \left(\frac{x}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } +\frac{1}{x} +\frac{1}{y} \right)dx +\varphi \left(y\right)=\]

    \[=\int \frac{xdx}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } +\int \frac{dx}{x} +\frac{1}{y} \int dx +\varphi \left(y\right)=\frac{1}{2} \int \frac{d\left(x^{2} +y^{2} \right)}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } +\ln \left|x\right|+\frac{x}{y} +\varphi \left(y\right)=\]

    \[=\sqrt{x^{2} +y^{2} } +\ln \left|x\right|+\frac{x}{y} +\varphi \left(y\right)\]

Найдем функцию \varphi \left(y\right). Для того продифференцируем полученное равенство по переменной y:

    \[\frac{\partial U}{\partial y} =\frac{\partial }{\partial y} \left(\sqrt{x^{2} +y^{2} } +\ln \left|x\right|+\frac{x}{y} +\varphi \left(y\right)\right)=\frac{y}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } -\frac{x}{y^{2} } +\varphi '\left(y\right)\]

Но также \frac{\partial U}{\partial y} =N\left(x;\; y\right), а тогда

    \[\frac{y}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } -\frac{x}{y^{2} } +\varphi '\left(y\right)=\frac{y}{\sqrt{x^{2} +y^{2} } } +\frac{1}{y} -\frac{x}{y^{2} } \Rightarrow \varphi '\left(y\right)=\frac{1}{y} \]

Отсюда

    \[\varphi \left(y\right)=\int \frac{dy}{y} =\ln \left|y\right|+C_{1} \]

Таким образом, получаем, что

    \[U\left(x;\; y\right)=\sqrt{x^{2} +y^{2} } +\ln \left|x\right|+\frac{x}{y} +\ln \left|y\right|+C_{1} =\sqrt{x^{2} +y^{2} } +\ln \left|xy\right|+\frac{x}{y} +C_{1} \]

или

    \[\sqrt{x^{2} +y^{2} } +\ln \left|xy\right|+\frac{x}{y} =C\]

Ответ \sqrt{x^{2} +y^{2} } +\ln \left|xy\right|+\frac{x}{y} =C
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.