Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Однородные дифференциальные уравнения

Определение и формулы однородных дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Если дифференциальное уравнение y'=f\left(x;\; y\right) не изменяется при замене x на kx, y на ky, то оно называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
ЗАМЕЧАНИЕ
Эти уравнения являются однородными по переменным, а не по правой части, поэтому их не нужно путать с линейными однородными уравнениями.

Решение данных уравнений ищется с помощью подстановки

    \[y\left(x\right)=xz\left(x\right)\]

откуда

    \[y'\left(x\right)=z\left(x\right)+xz'\left(x\right)\]

В результате уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

После нахождения решения нового уравнения относительно функции z\left(x\right), необходимо выполнить обратную замену

    \[z\left(x\right)=\frac{y\left(x\right)}{x} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР
Задание Проинтегрировать дифференциальное уравнение y'+\frac{x^{2} +y^{2} }{xy} =0
Решение Вначале убедимся, что заданное уравнение является однородным. Для этого x заменим на kx, y на ky:

    \[y'+\frac{\left(kx\right)^{2} +\left(ky\right)^{2} }{kx\cdot ky} =0\Rightarrow y'+\frac{k^{2} x^{2} +k^{2} y^{2} }{k^{2} \cdot xy} =0\Rightarrow \]

    \[\Rightarrow y'+\frac{k^{2} \left(x^{2} +y^{2} \right)}{k^{2} \cdot xy} =0\Rightarrow y'+\frac{x^{2} +y^{2} }{xy} =0\]

Как видим, после такой замены уравнение не изменилось, что и доказывает его однородность по переменным.

Сделаем замену

    \[y\left(x\right)=xz\left(x\right)\Rightarrow y'=z+xz'\]

После подстановки этих выражений в исходное уравнение будем иметь:

    \[z+xz'+\frac{x^{2} +\left(xz\right)^{2} }{x\cdot xz} =0\]

или

    \[z+xz'+\frac{x^{2} +x^{2} z^{2} }{x^{2} z} =0\]

Сокращая числитель и знаменатель дроби на x^{2}, получим:

    \[z+xz'+\frac{1+z^{2} }{z} =0\]

Сводим подобные:

    \[xz'+\frac{z^{2} +1+z^{2} }{z} =0\]

    \[xz'+\frac{1+2z^{2} }{z} =0\]

    \[x\frac{dz}{dx} =-\frac{1+2z^{2} }{z} \]

Пришли к уравнению с разделяющимися переменными, разделим их:

    \[\frac{zdz}{1+2z^{2} } =-\frac{dx}{x} \]

Общий интеграл дифференциального уравнения:

    \[\int \frac{zdz}{1+2z^{2} } =-\int \frac{dx}{x} \]

Интеграл, стоящий в левой части равенства, найдем с помощью замены:

    \[\int \frac{zdz}{1+2z^{2} } \; \left\| \begin{array}{l} {1+2z^{2} =t} \\ {4zdz=dt} \\ {zdz=\frac{dt}{4} } \end{array}\right\| =\int \frac{\frac{dt}{4} }{t} =\frac{1}{4} \int \frac{dt}{t} =\frac{1}{4} \ln \left|t\right|+C_{1} =\frac{1}{4} \ln \left|1+2z^{2} \right|+C_{1} \]

Интеграл в правой части табличный и

    \[-\int \frac{dx}{x} =-\ln \left|x\right|+C_{2} \]

Итак, получаем решение

    \[\frac{1}{4} \ln \left|1+2z^{2} \right|=-\ln \left|x\right|+\ln \left|\sqrt[{4}]{C} \right|=\ln \left|\frac{\sqrt[{4}]{C} }{x} \right|\Rightarrow \ln \left|1+2z^{2} \right|=4\ln \left|\frac{\sqrt[{4}]{C} }{x} \right|= \]

    \[=\ln \left(\frac{\sqrt[{4}]{C} }{x} \right)^{4} =\ln \frac{C}{x^{4} } \]

То есть

    \[\ln \left|1+2z^{2} \right|=\ln \frac{C}{x^{4} } \Rightarrow 1+2z^{2} =\frac{C}{x^{4} } \]

Для нахождения функции y\left(x\right) делаем обратную замену z=\frac{y}{x}, в результате имеем:

    \[1+\frac{2y^{2} }{x^{2} } =\frac{C}{x^{4} } \]

После преобразований, окончательно будем иметь, что искомое решение

    \[\frac{x^{2} +2y^{2} }{x^{2} } =\frac{C}{x^{4} } \Rightarrow x^{2} +2y^{2} =\frac{C}{x^{2} } \Rightarrow x^{2} \left(x^{2} +2y^{2} \right)=C\]

Ответ x^{2} \left(x^{2} +2y^{2} \right)=C
ПРИМЕР
Задание Решить дифференциальное уравнение y'=e^{^{\frac{y}{x} } } +\frac{y}{x} +1
Решение Данное уравнение является однородным (в этом несложно убедиться непосредственно), поэтому для его решения делаем замену

    \[\frac{y}{x} =z\Rightarrow y=zx\Rightarrow y'=z'x+z\]

После этого уравнение запишется в виде:

    \[xz'+z=e^{z} +z+1\]

или

    \[x\cdot \frac{dz}{dx} =e^{z} +1\]

Получили уравнение с разделяющимися переменными, разделим их. Для этого левую и правую части последнего равенства разделим на \frac{x\left(e^{z} +1\right)}{dx}:

    \[\frac{dz}{e^{z} +1} =\frac{dx}{x} \]

Общий интеграл полученного уравнения:

    \[\int \frac{dz}{e^{z} +1} =\int \frac{dx}{x} \]

Найдем интеграл, стоящий в левой части последнего равенства:

    \[\int \frac{dz}{e^{z} +1} \; \left\| \begin{array}{l} {e^{z} +1=t} \\ {e^{z} dz=dt} \\ {e^{z} =t-1} \\ {dz=\frac{dt}{e^{z} } =\frac{dt}{t-1} } \end{array}\right\| =\int \frac{\frac{dt}{t-1} }{t} =\int \frac{dt}{t\left(t-1\right)} \]

Подынтегральную функцию \frac{1}{t\left(t-1\right)} представим в виде суммы простейших дробей:

    \[\frac{1}{t\left(t-1\right)} =\frac{A}{t} +\frac{B}{t-1} =\frac{At-A+Bt}{t\left(t-1\right)} \Rightarrow 1=\left(A+B\right)t-A\Rightarrow  \]

    \[\left\{\begin{array}{l} {A+B=0,} \\ {-A=1} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {A=-1,} \\ {B=1.} \end{array}\right. \]

Таким образом, \frac{1}{t\left(t-1\right)} =\frac{1}{t-1} -\frac{1}{t}.

Итак, получаем, что

    \[\int \frac{dz}{e^{z} +1} =\int \frac{dt}{t\left(t-1\right)} =\int \left(\frac{1}{t-1} -\frac{1}{t} \right)dt =\ln \left|t-1\right|-\ln \left|t\right|+C_{1} = \]

    \[=\ln \left|\frac{t-1}{t} \right|+C_{1} =\ln \left|\frac{e^{z} }{e^{z} +1} \right|+C_{1} \]

То есть

    \[\ln \left|\frac{e^{z} }{e^{z} +1} \right|=\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|\Rightarrow \ln \left|\frac{e^{z} }{e^{z} +1} \right|=\ln \left|Cx\right|\Rightarrow \frac{e^{z} }{e^{z} +1} =Cx\]

После обратной замены получаем:

    \[\frac{e^{^{\frac{y}{x} } } }{e^{^{\frac{y}{x} } } +1} =Cx\]

Ответ \frac{e^{^{\frac{y}{x} } } }{e^{^{\frac{y}{x} } } +1} =Cx