Однородные дифференциальные уравнения

Определение и формулы однородных дифференциальных уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если дифференциальное уравнение $y'=f\left(x;\; y\right)$ не изменяется при замене x на $kx$ , y на $ky$ , то оно называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

ЗАМЕЧАНИЕ

Эти уравнения являются однородными по переменным, а не по правой части, поэтому их не нужно путать с линейными однородными уравнениями.

Решение данных уравнений ищется с помощью подстановки

$y\left(x\right)=xz\left(x\right)$

откуда

$y'\left(x\right)=z\left(x\right)+xz'\left(x\right)$

В результате уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.

После нахождения решения нового уравнения относительно функции $z\left(x\right)$ , необходимо выполнить обратную замену

$z\left(x\right)=\frac{y\left(x\right)}{x}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР

Задание

Проинтегрировать дифференциальное уравнение $y'+\frac{x^{2} +y^{2} }{xy} =0$

Решение

Вначале убедимся, что заданное уравнение является однородным. Для этого x заменим на $kx$ , y на $ky$ :

$y'+\frac{\left(kx\right)^{2} +\left(ky\right)^{2} }{kx\cdot ky} =0\Rightarrow y'+\frac{k^{2} x^{2} +k^{2} y^{2} }{k^{2} \cdot xy} =0\Rightarrow$

$\Rightarrow y'+\frac{k^{2} \left(x^{2} +y^{2} \right)}{k^{2} \cdot xy} =0\Rightarrow y'+\frac{x^{2} +y^{2} }{xy} =0$

Как видим, после такой замены уравнение не изменилось, что и доказывает его однородность по переменным.

Сделаем замену

$y\left(x\right)=xz\left(x\right)\Rightarrow y'=z+xz'$

После подстановки этих выражений в исходное уравнение будем иметь:

$z+xz'+\frac{x^{2} +\left(xz\right)^{2} }{x\cdot xz} =0$

или

$z+xz'+\frac{x^{2} +x^{2} z^{2} }{x^{2} z} =0$

Сокращая числитель и знаменатель дроби на $x^{2}$ , получим:

$z+xz'+\frac{1+z^{2} }{z} =0$

Сводим подобные:

$xz'+\frac{z^{2} +1+z^{2} }{z} =0$

$xz'+\frac{1+2z^{2} }{z} =0$

$x\frac{dz}{dx} =-\frac{1+2z^{2} }{z}$

Пришли к уравнению с разделяющимися переменными, разделим их:

$\frac{zdz}{1+2z^{2} } =-\frac{dx}{x}$

Общий интеграл дифференциального уравнения:

$\int \frac{zdz}{1+2z^{2} } =-\int \frac{dx}{x}$

Интеграл, стоящий в левой части равенства, найдем с помощью замены:

$\int \frac{zdz}{1+2z^{2} } \; \left\| \begin{array}{l} {1+2z^{2} =t} \\ {4zdz=dt} \\ {zdz=\frac{dt}{4} } \end{array}\right\| =\int \frac{\frac{dt}{4} }{t} =\frac{1}{4} \int \frac{dt}{t} =\frac{1}{4} \ln \left|t\right|+C_{1} =\frac{1}{4} \ln \left|1+2z^{2} \right|+C_{1}$

Интеграл в правой части табличный и

$-\int \frac{dx}{x} =-\ln \left|x\right|+C_{2}$

Итак, получаем решение

$\frac{1}{4} \ln \left|1+2z^{2} \right|=-\ln \left|x\right|+\ln \left|\sqrt[{4}]{C} \right|=\ln \left|\frac{\sqrt[{4}]{C} }{x} \right|\Rightarrow \ln \left|1+2z^{2} \right|=4\ln \left|\frac{\sqrt[{4}]{C} }{x} \right|=$

$=\ln \left(\frac{\sqrt[{4}]{C} }{x} \right)^{4} =\ln \frac{C}{x^{4} }$

То есть

$\ln \left|1+2z^{2} \right|=\ln \frac{C}{x^{4} } \Rightarrow 1+2z^{2} =\frac{C}{x^{4} }$

Для нахождения функции $y\left(x\right)$ делаем обратную замену $z=\frac{y}{x}$ , в результате имеем:

$1+\frac{2y^{2} }{x^{2} } =\frac{C}{x^{4} }$

После преобразований, окончательно будем иметь, что искомое решение

$\frac{x^{2} +2y^{2} }{x^{2} } =\frac{C}{x^{4} } \Rightarrow x^{2} +2y^{2} =\frac{C}{x^{2} } \Rightarrow x^{2} \left(x^{2} +2y^{2} \right)=C$

Ответ

$x^{2} \left(x^{2} +2y^{2} \right)=C$

ПРИМЕР

Задание

Решить дифференциальное уравнение $y'=e^{^{\frac{y}{x} } } +\frac{y}{x} +1$

Решение

Данное уравнение является однородным (в этом несложно убедиться непосредственно), поэтому для его решения делаем замену

$\frac{y}{x} =z\Rightarrow y=zx\Rightarrow y'=z'x+z$

После этого уравнение запишется в виде:

$xz'+z=e^{z} +z+1$

или

$x\cdot \frac{dz}{dx} =e^{z} +1$

Получили уравнение с разделяющимися переменными, разделим их. Для этого левую и правую части последнего равенства разделим на $\frac{x\left(e^{z} +1\right)}{dx}$ :

$\frac{dz}{e^{z} +1} =\frac{dx}{x}$

Общий интеграл полученного уравнения:

$\int \frac{dz}{e^{z} +1} =\int \frac{dx}{x}$

Найдем интеграл, стоящий в левой части последнего равенства:

$\int \frac{dz}{e^{z} +1} \; \left\| \begin{array}{l} {e^{z} +1=t} \\ {e^{z} dz=dt} \\ {e^{z} =t-1} \\ {dz=\frac{dt}{e^{z} } =\frac{dt}{t-1} } \end{array}\right\| =\int \frac{\frac{dt}{t-1} }{t} =\int \frac{dt}{t\left(t-1\right)}$

Подынтегральную функцию $\frac{1}{t\left(t-1\right)}$ представим в виде суммы простейших дробей:

$\frac{1}{t\left(t-1\right)} =\frac{A}{t} +\frac{B}{t-1} =\frac{At-A+Bt}{t\left(t-1\right)} \Rightarrow 1=\left(A+B\right)t-A\Rightarrow$

$\left\{\begin{array}{l} {A+B=0,} \\ {-A=1} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {A=-1,} \\ {B=1.} \end{array}\right.$

Таким образом, $\frac{1}{t\left(t-1\right)} =\frac{1}{t-1} -\frac{1}{t}$ .

Итак, получаем, что

$\int \frac{dz}{e^{z} +1} =\int \frac{dt}{t\left(t-1\right)} =\int \left(\frac{1}{t-1} -\frac{1}{t} \right)dt =\ln \left|t-1\right|-\ln \left|t\right|+C_{1} =$

$=\ln \left|\frac{t-1}{t} \right|+C_{1} =\ln \left|\frac{e^{z} }{e^{z} +1} \right|+C_{1}$

То есть

$\ln \left|\frac{e^{z} }{e^{z} +1} \right|=\ln \left|x\right|+\ln \left|C\right|\Rightarrow \ln \left|\frac{e^{z} }{e^{z} +1} \right|=\ln \left|Cx\right|\Rightarrow \frac{e^{z} }{e^{z} +1} =Cx$

После обратной замены получаем:

$\frac{e^{^{\frac{y}{x} } } }{e^{^{\frac{y}{x} } } +1} =Cx$

Ответ

$\frac{e^{^{\frac{y}{x} } } }{e^{^{\frac{y}{x} } } +1} =Cx$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Однородные дифференциальные уравнения

Определение и формулы однородных дифференциальных уравнений

Примеры решения задач