Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение и формулы дифференциальных уравнений второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

$F\left(x;\; y;\; y';\; y''\right)=0$

ПРИМЕР

Задание

Найти общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка $y''+x=0$

Решение

Перепишем заданное уравнение в виде:

$y''=-x$

Дважды проинтегрируем. После первого интегрирования будем иметь:

$y'=-\int xdx =-\frac{x^{2} }{2} +C_{1}$

И окончательно

$y\left(x\right)=\int \left(-\frac{x^{2} }{2} +C_{1} \right)dx =-\frac{1}{2} \int x^{2} dx +C_{1} \int dx =-\frac{x^{3} }{6} +C_{1} x+C_{2}$

Ответ

$y\left(x\right)=-\frac{x^{3} }{6} +C_{1} x+C_{2}$

Однородное и неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

$y''+py'+qy=0$

Здесь $p,\; q$ – некоторые числа. Это уравнение является однородным по правой части, поскольку в теории дифференциальных уравнений есть еще однородные уравнения по аргументу.

Неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

$y''+py'+qy=f\left(x\right)$

Функция $f\left(x\right)$ , стоящая в правой части равенства, в общем случае отлична от нуля.

ПРИМЕР

Задание

Найти решение дифференциального уравнения $y''+y'-6y=0$

Решение

Составим характеристическое уравнение, соответствующее заданному дифференциальному уравнению:

$k^{2} +k-6=0$

Его корни (их можно найти, например, по теореме Виета)

$k_{1} =2,\; k_{2} =-3$

Полученные корни различны и действительны, тогда искомое общее решение

$y\left(x\right)=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x} =C_{1} e^{2x} +C_{2} e^{-3x}$

Замечание. Будет верным, если решение записать и в виде

$y\left(x\right)=C_{1} e^{-3x} +C_{2} e^{2x}$

Замечание. Придавая константам интегрирования $C_{1}$ и $C_{2}$ различные значения, можно получить в результате бесконечно множество частных решений.

Замечание. Константы $C_{1}$ и $C_{2}$ находятся их начальных условий.

Ответ

$y\left(x\right)=C_{1} e^{2x} +C_{2} e^{-3x}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение и формулы дифференциальных уравнений второго порядка

Однородное и неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка