Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение и формулы дифференциальных уравнений второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

    \[F\left(x;\; y;\; y';\; y''\right)=0\]

ПРИМЕР
Задание Найти общий интеграл дифференциального уравнения второго порядка y''+x=0
Решение Перепишем заданное уравнение в виде:

    \[y''=-x\]

Дважды проинтегрируем. После первого интегрирования будем иметь:

    \[y'=-\int xdx =-\frac{x^{2} }{2} +C_{1} \]

И окончательно

    \[y\left(x\right)=\int \left(-\frac{x^{2} }{2} +C_{1} \right)dx =-\frac{1}{2} \int x^{2} dx +C_{1} \int dx =-\frac{x^{3} }{6} +C_{1} x+C_{2} \]

Ответ y\left(x\right)=-\frac{x^{3} }{6} +C_{1} x+C_{2}

Однородное и неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

Однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

    \[y''+py'+qy=0\]

Здесь p,\; q – некоторые числа. Это уравнение является однородным по правой части, поскольку в теории дифференциальных уравнений есть еще однородные уравнения по аргументу.

Неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение

    \[y''+py'+qy=f\left(x\right)\]

Функция f\left(x\right), стоящая в правой части равенства, в общем случае отлична от нуля.

ПРИМЕР
Задание Найти решение дифференциального уравнения y''+y'-6y=0
Решение Составим характеристическое уравнение, соответствующее заданному дифференциальному уравнению:

    \[k^{2} +k-6=0\]

Его корни (их можно найти, например, по теореме Виета)

    \[k_{1} =2,\; k_{2} =-3\]

Полученные корни различны и действительны, тогда искомое общее решение

    \[y\left(x\right)=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x} =C_{1} e^{2x} +C_{2} e^{-3x} \]

Замечание. Будет верным, если решение записать и в виде

    \[y\left(x\right)=C_{1} e^{-3x} +C_{2} e^{2x} \]

Замечание. Придавая константам интегрирования C_{1} и C_{2} различные значения, можно получить в результате бесконечно множество частных решений.

Замечание. Константы C_{1} и C_{2} находятся их начальных условий.

Ответ y\left(x\right)=C_{1} e^{2x} +C_{2} e^{-3x}