Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная корня икс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная корня икс равна единице, деленной на два таких же корня.

    \[    \left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \]

Данную формулу можно получить из формулы производной степенной функции \left( x^{n} \right)' = n x^{n-1} , представив корень в виде дробного показателя:

    \[    \left( \sqrt{x} \right)' = \left( x^{\frac{1}{2}} \right)' = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \]

Примеры решения задач по теме «Производная корня»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = 3 + 4 \sqrt{x+2}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( 3 + 4 \sqrt{x+2} \right)' \]

По правилам дифференцирования производная суммы равна сумме производных. То есть тогда

    \[    y'(x) = \left( 3 + 4 \sqrt{x+2} \right)' = \left( 3 \right)' + \left( 4 \sqrt{x+2} \right)' \]

Производная первого слагаемого, как константы, равна 0:

    \[    \left( 3 \right)' = 0 \]

Найдем производную второго слагаемого \left( 4 \sqrt{x+2} \right)' . Вначале по правилу дифференцирования вынесем константу за знак производной:

    \[    \left( 4 \sqrt{x+2} \right)' = 4 \cdot \left( \sqrt{x+2} \right)' \]

Далее находим производную от корня по формуле \left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} . И так как подкоренное выражение есть сложная функция (оно отлично от просто x), то еще дробь нужно будет умножить на производную от подкоренного выражения:

    \[    \left( 4 \sqrt{x+2} \right)' = 4 \cdot \left( \sqrt{x+2} \right)' = 4 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+2}} \cdot \left( x+2 \right)' = \frac{2}{\sqrt{x+2}} \cdot \left( x+2 \right)' \]

Производная от суммы равна сумме производных:

    \[    \left( 4 \sqrt{x+2} \right)' = \frac{2}{\sqrt{x+2}} \cdot \left( x+2 \right)' = \frac{2}{\sqrt{x+2}} \cdot \left[ \left( x \right)' + \left( 2 \right)' \right] \]

Первая производная от независимой переменной равна единице, а производная от константы 2 равна нулю, то есть имеем:

    \[    \left( 4 \sqrt{x+2} \right)' = \frac{2}{\sqrt{x+2}} \cdot \left( 1+0 \right) = \frac{2}{\sqrt{x+2}} \]

Итак,

    \[    y'(x) = \left( 3 \right)' + \left( 4 \sqrt{x+2} \right)' = 0 + \frac{2}{\sqrt{x+2}} = \frac{2}{\sqrt{x+2}} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = \sqrt{\sin x}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \sqrt{\sin x} \right)' \]

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня. Но так как подкоренное выражение является сложной функцией (под корнем стоит не просто x, а \sin x ), то еще надо домножить на производную от подкоренного выражения, то есть синуса. Производная от синуса равна косинусу \left( \sin x \right)' = \cos x . Тогда имеем:

    \[    y'(x) = \left( \sqrt{\sin x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{\sin x}} \cdot \left( \sin x \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{\sin x}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2 \sqrt{\sin x}}  \]

Ответ