Производная корня икс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная корня икс равна единице, деленной на два таких же корня.

$\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Данную формулу можно получить из формулы производной степенной функции $\left( x^{n} \right)' = n x^{n-1}$ , представив корень в виде дробного показателя:

$\left( \sqrt{x} \right)' = \left( x^{\frac{1}{2}} \right)' = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Примеры решения задач по теме «Производная корня»

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y(x) = 3 + 4 \sqrt{x+2}$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( 3 + 4 \sqrt{x+2} \right)'$

По правилам дифференцирования производная суммы равна сумме производных. То есть тогда

$y'(x) = \left( 3 + 4 \sqrt{x+2} \right)' = \left( 3 \right)' + \left( 4 \sqrt{x+2} \right)'$

Производная первого слагаемого, как константы, равна 0:

$\left( 3 \right)' = 0$

Найдем производную второго слагаемого $\left( 4 \sqrt{x+2} \right)'$ . Вначале по правилу дифференцирования вынесем константу за знак производной:

$\left( 4 \sqrt{x+2} \right)' = 4 \cdot \left( \sqrt{x+2} \right)'$

Далее находим производную от корня по формуле $\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ . И так как подкоренное выражение есть сложная функция (оно отлично от просто $x$ ), то еще дробь нужно будет умножить на производную от подкоренного выражения:

$\left( 4 \sqrt{x+2} \right)' = 4 \cdot \left( \sqrt{x+2} \right)' = 4 \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x+2}} \cdot \left( x+2 \right)' = \frac{2}{\sqrt{x+2}} \cdot \left( x+2 \right)'$

Производная от суммы равна сумме производных:

$\left( 4 \sqrt{x+2} \right)' = \frac{2}{\sqrt{x+2}} \cdot \left( x+2 \right)' = \frac{2}{\sqrt{x+2}} \cdot \left[ \left( x \right)' + \left( 2 \right)' \right]$

Первая производная от независимой переменной равна единице, а производная от константы 2 равна нулю, то есть имеем:

$\left( 4 \sqrt{x+2} \right)' = \frac{2}{\sqrt{x+2}} \cdot \left( 1+0 \right) = \frac{2}{\sqrt{x+2}}$

Итак,

$y'(x) = \left( 3 \right)' + \left( 4 \sqrt{x+2} \right)' = 0 + \frac{2}{\sqrt{x+2}} = \frac{2}{\sqrt{x+2}}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции $y(x) = \sqrt{\sin x}$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( \sqrt{\sin x} \right)'$

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня. Но так как подкоренное выражение является сложной функцией (под корнем стоит не просто $x$ , а $\sin x$ ), то еще надо домножить на производную от подкоренного выражения, то есть синуса. Производная от синуса равна косинусу $\left( \sin x \right)' = \cos x$ . Тогда имеем:

$y'(x) = \left( \sqrt{\sin x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{\sin x}} \cdot \left( \sin x \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{\sin x}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2 \sqrt{\sin x}}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производная корня икс

Примеры решения задач по теме «Производная корня»