Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная синуса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная синуса равна косинусу того же аргумента.

    \[    \left( \sin x \right)' = \cos x \]

То есть синус просто «заменяется» на косинус. Отметим, что производная от косинуса равна минус синусу того же аргумента: \left( \cos x \right)' = - \sin x . Чтобы не запутаться, существует мнемоническое правило для запоминания:

Синий косяк
Косяк – синий

Первая строка показывает нам что производная от синуса равна косинусу (если посмотреть выделенные буквы), а вторая строка дает понять, что производная от косинуса – это минус синус (выделенные буквы и тире).

Примеры решения задач по теме «Производная синуса»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = \sin \sqrt{x}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \sin \sqrt{x} \right)' \]

Аргумент синуса у нас не просто x («икс»), поэтому просто применить приведенную формулу нельзя, так как задана сложная функция. Поэтому производную синуса – косинус такого же аргумента, найденную по выше приведенной формуле, нужно домножить на производную аргумента:

    \[    y'(x) = \left( \sin \sqrt{x} \right)' = \cos \sqrt{x} \cdot \left( \sqrt{x} \right)' \]

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня. Тогда имеем:

    \[    y'(x) = \cos \sqrt{x} \cdot \left( \sqrt{x} \right)' = \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = 2 \sin \left( 3x+4 \right)
Решение Искомая производная:

    \[    y'(x) = \left( 2 \sin \left( 3x+4 \right) \right)' \]

На первом шаге решения используем правила дифференцирования, а именно то, что константу можно выносить за знак производной:

    \[    y'(x) = \left( 2 \sin \left( 3x+4 \right) \right)' = 2 \left( \sin \left( 3x+4 \right) \right)' \]

Далее находим производную от синуса – это косинус такого же аргумента. И так как аргумент есть выражение более сложное, чем просто x, то имеем дело со сложной функцией, а поэтому еще нужно домножить на производную от аргумента, то есть:

    \[    y'(x) = 2 \left( \sin \left( 3x+4 \right) \right)' = 2 \cdot \cos \left( 3x+4 \right) \cdot \left( 3x+4 \right)' \]

Производная от суммы равна сумме производных, тогда:

    \[    y'(x) = 2 \cdot \cos \left( 3x+4 \right) \cdot \left( 3x+4 \right)' = 2 \cdot \cos \left( 3x+4 \right) \cdot \left[ \left( 3x \right)' + \left(  4 \right)' \right] \]

Производная \left( 3x \right)', как производная от константы умноженной на x, равна 3; а производная \left( 4 \right)' – производная константы, равна 0.

Таким образом, имеем:

    \[    y'(x) = 2 \cdot \cos \left( 3x+4 \right) \cdot \left[ \left( 3x \right)' + \left(  4 \right)' \right] = 2 \cos \left( 3x+4 \right) \left[ 3+0 \right] = 6 \cos \left( 3x+4 \right) \]

Ответ y'(x) = 6 \cos \left( 3x+4 \right)