Формула n-го члена геометрической прогрессии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Последовательность чисел $\left\{ {b}_{1},{b}_{2},...,{b}_{n},... \right\}$ с ненулевым первым членом называется геометрической прогрессией, если каждое из них, начиная с ${b}_{2}$ , получается из предыдущего умножением его на одно и тоже число $q$ , которое называется знаменателем прогрессии, т.е.

${b}_{n}={b}_{n-1}\cdot q$

Зная первый член геометрической прогрессии и ее знаменатель можно найти $n$ -ый член геометрической прогрессии по формуле:

${b}_{n}={b}_{1}\cdot {q}^{n-1}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти шестой и $n$ -ый члены геометрической прогрессии $\{48,12,...\}$

Решение

Из условия задачи известно, что ${b}_{1}=48,\ {b}_{2}=12$ . Найдем знаменатель этой прогрессии:

$q=\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}$

Тогда шестой и $n$ -ый члены заданной геометрической прогрессии

${b}_{6}={b}_{1}{q}^{5}=48\cdot {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{5}}=\frac{3}{64}$

${b}_{n}={b}_{1}{q}^{n-1}=48\cdot {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{n-1}}=\frac{3}{{4}^{n-3}}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Последовательность $({b}_{n})$ – геометрическая прогрессия. Найти ${b}_{7}$ , если ${b}_{1}=125,\ {b}_{3}=5$

Решение

Выразим третий член заданной прогрессии через заданный первый член и знаменатель:

${b}_{3}={b}_{1}\cdot {q}^{2}$

откуда знаменатель

$q=\sqrt{\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}}}=\sqrt{\frac{5}{125}}=\frac{1}{5}$

Тогда седьмой член прогрессии будет равен

${b}_{7}={b}_{1}\cdot {q}^{6}=125\cdot {{\left( \frac{1}{5} \right)}^{6}}=\frac{1}{125}$

Ответ

${b}_{7}=\frac{1}{125}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Формула n-го члена геометрической прогрессии

Примеры решения задач