Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула n-го члена геометрической прогрессии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность чисел \left\{ {b}_{1},{b}_{2},...,{b}_{n},... \right\} с ненулевым первым членом называется геометрической прогрессией, если каждое из них, начиная с {b}_{2}, получается из предыдущего умножением его на одно и тоже число q, которое называется знаменателем прогрессии, т.е.

    \[  {b}_{n}={b}_{n-1}\cdot q\]

Зная первый член геометрической прогрессии и ее знаменатель можно найти n-ый член геометрической прогрессии по формуле:

    \[  {b}_{n}={b}_{1}\cdot {q}^{n-1}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти шестой и n-ый члены геометрической прогрессии \{48,12,...\}
Решение Из условия задачи известно, что {b}_{1}=48,\ {b}_{2}=12. Найдем знаменатель этой прогрессии:

    \[q=\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}=\frac{12}{48}=\frac{1}{4}\]

Тогда шестой и n-ый члены заданной геометрической прогрессии

    \[{b}_{6}={b}_{1}{q}^{5}=48\cdot {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{5}}=\frac{3}{64}\]

    \[{b}_{n}={b}_{1}{q}^{n-1}=48\cdot {{\left( \frac{1}{4} \right)}^{n-1}}=\frac{3}{{4}^{n-3}}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Последовательность ({b}_{n}) – геометрическая прогрессия. Найти {b}_{7}, если {b}_{1}=125,\ {b}_{3}=5
Решение Выразим третий член заданной прогрессии через заданный первый член и знаменатель:

    \[{b}_{3}={b}_{1}\cdot {q}^{2}\]

откуда знаменатель

    \[q=\sqrt{\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}}}=\sqrt{\frac{5}{125}}=\frac{1}{5}\]

Тогда седьмой член прогрессии будет равен

    \[{b}_{7}={b}_{1}\cdot {q}^{6}=125\cdot {{\left( \frac{1}{5} \right)}^{6}}=\frac{1}{125}\]

Ответ {b}_{7}=\frac{1}{125}