Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы арифметической прогрессии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Арифметической прогрессией называется последовательность чисел A=\left\{ {a}_{1},{a}_{2},...,{a}_{n},... \right\}, каждое из которых (начиная со второго) получается из предыдущего прибавлением к нему какого-то постоянного числа d, т.е. последовательность задается соотношением:

    \[  {a}_{n}={a}_{n-1}+d\]

Основные формулы арифметической прогрессии

Число d называется разностью арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии можно найти по формуле:

    \[{a}_{n}={a}_{1}+d(n-1)\]

Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно посчитать, используя формулы:

    \[{S}_{n}=\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}\cdot n\]

или

    \[{S}_{n}=\frac{2{a}_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n\]

Количество членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

    \[k=\frac{{a}_{n}-{a}_{1}}{d}+1\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти первый член арифметической прогрессии \left\{ {a}_{n} \right\}, если известно, что {a}_{36}=26,\ d=0,7
Решение Воспользуемся формулой для нахождения n-ого члена арифметической прогрессии и выразим из нее первый член:

    \[{a}_{n}={a}_{1}+d(n-1)\Rightarrow {a}_{1}={a}_{n}-d(n-1)\]

Подставим данные из условия:

    \[{a}_{1}={a}_{36}-d\cdot (36-1)=26-0,7\cdot 35=1,5\]

Ответ {a}_{1}=1,5
ПРИМЕР 2
Задание Найти сумму членов арифметической прогрессии с десятого по пятнадцатый включительно, если первый член равен 8, а разность равна 5.
Решение Найдем десятый и пятнадцатый члены заданной прогрессии:

    \[{a}_{10}={a}_{1}+d\cdot (10-1)=8+5\cdot 9=53\]

    \[{a}_{15}={a}_{1}+d\cdot (15-1)=8+5\cdot 14=78\]

Будем искать сумму шести членов прогрессии, начинающейся с {a}_{10}=53 и заканчивающейся {a}_{15}=78:

    \[{S}_{6}=\frac{{a}_{10}+{a}_{15}}{2}\cdot 6=\frac{53+78}{2}\cdot 6=393\]

Ответ S=393