Формула суммы арифметической прогрессии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Последовательность чисел вида $\left\{ {a}_{1},{a}_{1}+d,{a}_{1}+2d,{a}_{1}+3d,... \right\}$ называется арифметической прогрессией с первым членом ${a}_{1}$ и разностью $d$ .

Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле:

${S}_{n}=\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}\cdot n$

Если же известен только первый член прогрессии ${a}_{1}$ и разность $d$ , то можно воспользоваться другой формулой:

${S}_{n}=\frac{2{a}_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, если ${a}_{1}=-15,\ d=4$

Решение

Если известны первый член арифметической прогрессии и ее разность, то сумму первых n членов можно найти по формуле:

${S}_{n}=\frac{2{a}_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$

Найдем сумму первых восьми членов заданной прогрессии

${S}_{8}=\frac{2\cdot (-15)+4\cdot (8-1)}{2}\cdot 8=-8$

Ответ

${S}_{8}=-8$

ПРИМЕР 2

Задание	Найти сумму $1+3+5+...+(2n-1)$ , слагаемыми которой являются все нечетные натуральные числа от $1$ до $2n-1$
Решение	В заданной сумме каждое слагаемое является членом арифметической прогрессии с ${a}_{1}=1,\ {a}_{n}=2n-1$ и разностью $d=2$ . Найдем сумму этой арифметической прогрессии: ${S}_{n}=\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}\cdot n=\frac{1+2n-1}{2}\cdot n={n}^{2}$
Ответ	${S}_{n}={n}^{2}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!