Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула суммы арифметической прогрессии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность чисел вида \left\{ {a}_{1},{a}_{1}+d,{a}_{1}+2d,{a}_{1}+3d,... \right\} называется арифметической прогрессией с первым членом {a}_{1} и разностью d.

Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно вычислить по формуле:

    \[  {S}_{n}=\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}\cdot n\]

Если же известен только первый член прогрессии {a}_{1} и разность d, то можно воспользоваться другой формулой:

    \[  {S}_{n}=\frac{2{a}_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить сумму первых восьми членов арифметической прогрессии, если {a}_{1}=-15,\ d=4
Решение Если известны первый член арифметической прогрессии и ее разность, то сумму первых n членов можно найти по формуле:

    \[{S}_{n}=\frac{2{a}_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n\]

Найдем сумму первых восьми членов заданной прогрессии

    \[{S}_{8}=\frac{2\cdot (-15)+4\cdot (8-1)}{2}\cdot 8=-8\]

Ответ {S}_{8}=-8
ПРИМЕР 2
Задание Найти сумму 1+3+5+...+(2n-1), слагаемыми которой являются все нечетные натуральные числа от 1 до 2n-1
Решение В заданной сумме каждое слагаемое является членом арифметической прогрессии с {a}_{1}=1,\ {a}_{n}=2n-1 и разностью d=2. Найдем сумму этой арифметической прогрессии:

    \[{S}_{n}=\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}\cdot n=\frac{1+2n-1}{2}\cdot n={n}^{2}\]

Ответ {S}_{n}={n}^{2}