Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы прогрессий

Формулы арифметических прогрессий

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел \left\{ {a}_{1},{a}_{2},...,{a}_{n},... \right\}, каждое из которых (начиная со второго) равно сумме предыдущего некоторого постоянного для этой последовательности числа d:

    \[  {a}_{n}={a}_{n-1}+d\]

Число d называется разностью арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии (если известен ее первый член и разность) вычисляется следующим образом:

    \[ {a}_{n}={a}_{1}+d(n-1)\]

Сумму первых n членов арифметической прогрессии можно посчитать, используя формулы:

    \[ {S}_{n}=\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}\cdot n\]

или, если известны первый член и разность прогрессии,

    \[ {S}_{n}=\frac{2{a}_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n\]

Формулы геометрических прогрессий

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел \left\{ {b}_{1},{b}_{2},...,{b}_{n},... \right\},{b}_{1}\ne 0, каждое из которых (начиная со второго) равно произведению предыдущего на некоторое постоянное число q, называемое знаменателем геометрической прогрессии:

    \[  {b}_{n}={b}_{n-1}\cdot q\]

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии любой ее член можно вычислить по формуле:

    \[ {b}_{n}={b}_{1}\cdot {q}^{n-1}\]

Если последовательность чисел \left\{ {b}_{1},{b}_{2},...,{b}_{n},... \right\} является геометрической прогрессией, то для любого ее члена выполняется равенство

    \[ {b}_{n}^{2}={b}_{n-1}\cdot {b}_{n+1}\]

Сумму первых n членов геометрической прогрессии можно посчитать, используя формулу:

    \[ {S}_{n}=\frac{{b}_{1}\left( {q}^{n}-1 \right)}{q-1}\]

Если знаменатель прогрессии |q|<1, то такая прогрессия называется бесконечной убывающей геометрической прогрессией и ее сумма вычисляется по формуле

    \[ {S}_{n}=\frac{{b}_{1}}{1-q}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Межу числами 2 и 11 записать пять чисел так, чтобы они вместе с данными числами образовывали арифметическую прогрессию.
Решение Искомая прогрессия будет состоять из семи членов, для которых {{a}_{1}}=2,\ {{a}_{7}}=11.

Найдем разность прогрессии из формулы для седьмого члена:

    \[{a}_{7}={a}_{1}+6d\Rightarrow 11=2+6d\Rightarrow d=1,5\]

Теперь можно записать остальные члены прогрессии:

    \[{a}_{1}=2;\text{ }{a}_{2}=\text{3,5; }{a}_{3}=\text{5; }{a}_{4}=\text{6,5; }{a}_{5}=\text{8; }{a}_{6}=\text{9,5; }{a}_{7}=\text{11}\]

Ответ \text{3,5; 5; 6,5; 8; 9,5}
ПРИМЕР 2
Задание Дана геометрическая прогрессия 16,\ -4,.... Найти номер члена прогрессии, который равен -\frac{1}{64}.
Решение Из условия задачи известно, что {b}_{1}=16,\ {b}_{2}=-4. Найдем знаменатель этой прогрессии:

    \[q=\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}=\frac{-4}{16}=-\frac{1}{4}\]

Найдем номер члена прогрессии, равного -\frac{1}{64}, записав его с помощью формулы n-го члена:

    \[-\frac{1}{64}={b}_{1}{q}^{n-1}\Rightarrow -\frac{1}{64}=16\cdot {{\left( -\frac{1}{4} \right)}^{n-1}}\]

откуда находим искомый номер n:

    \[{{\left( -\frac{1}{4} \right)}^{5}}={{\left( -\frac{1}{4} \right)}^{n-1}}\Rightarrow n=6\]

Ответ n=6