Формулы прогрессий

Формулы арифметических прогрессий

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Арифметическая прогрессия – это последовательность чисел $\left\{ {a}_{1},{a}_{2},...,{a}_{n},... \right\}$ , каждое из которых (начиная со второго) равно сумме предыдущего некоторого постоянного для этой последовательности числа $d$ :

${a}_{n}={a}_{n-1}+d$

Число $d$ называется разностью арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии (если известен ее первый член и разность) вычисляется следующим образом:

${a}_{n}={a}_{1}+d(n-1)$

Сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно посчитать, используя формулы:

${S}_{n}=\frac{{a}_{1}+{a}_{n}}{2}\cdot n$

или, если известны первый член и разность прогрессии,

${S}_{n}=\frac{2{a}_{1}+d(n-1)}{2}\cdot n$

Формулы геометрических прогрессий

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел $\left\{ {b}_{1},{b}_{2},...,{b}_{n},... \right\},{b}_{1}\ne 0$ , каждое из которых (начиная со второго) равно произведению предыдущего на некоторое постоянное число $q$ , называемое знаменателем геометрической прогрессии:

${b}_{n}={b}_{n-1}\cdot q$

Зная первый член и знаменатель геометрической прогрессии любой ее член можно вычислить по формуле:

${b}_{n}={b}_{1}\cdot {q}^{n-1}$

Если последовательность чисел $\left\{ {b}_{1},{b}_{2},...,{b}_{n},... \right\}$ является геометрической прогрессией, то для любого ее члена выполняется равенство

${b}_{n}^{2}={b}_{n-1}\cdot {b}_{n+1}$

Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии можно посчитать, используя формулу:

${S}_{n}=\frac{{b}_{1}\left( {q}^{n}-1 \right)}{q-1}$

Если знаменатель прогрессии $|q|<1$ , то такая прогрессия называется бесконечной убывающей геометрической прогрессией и ее сумма вычисляется по формуле

${S}_{n}=\frac{{b}_{1}}{1-q}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Межу числами $2$ и 11 записать пять чисел так, чтобы они вместе с данными числами образовывали арифметическую прогрессию.

Решение

Искомая прогрессия будет состоять из семи членов, для которых ${{a}_{1}}=2,\ {{a}_{7}}=11$ .

Найдем разность прогрессии из формулы для седьмого члена:

${a}_{7}={a}_{1}+6d\Rightarrow 11=2+6d\Rightarrow d=1,5$

Теперь можно записать остальные члены прогрессии:

${a}_{1}=2;\text{ }{a}_{2}=\text{3,5; }{a}_{3}=\text{5; }{a}_{4}=\text{6,5; }{a}_{5}=\text{8; }{a}_{6}=\text{9,5; }{a}_{7}=\text{11}$

Ответ

$\text{3,5; 5; 6,5; 8; 9,5}$

ПРИМЕР 2

Задание

Дана геометрическая прогрессия $16,\ -4,...$ . Найти номер члена прогрессии, который равен $-\frac{1}{64}.$

Решение

Из условия задачи известно, что ${b}_{1}=16,\ {b}_{2}=-4$ . Найдем знаменатель этой прогрессии:

$q=\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}=\frac{-4}{16}=-\frac{1}{4}$

Найдем номер члена прогрессии, равного $-\frac{1}{64}$ , записав его с помощью формулы n-го члена:

$-\frac{1}{64}={b}_{1}{q}^{n-1}\Rightarrow -\frac{1}{64}=16\cdot {{\left( -\frac{1}{4} \right)}^{n-1}}$

откуда находим искомый номер $n$ :

${{\left( -\frac{1}{4} \right)}^{5}}={{\left( -\frac{1}{4} \right)}^{n-1}}\Rightarrow n=6$

Ответ

$n=6$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Формулы прогрессий

Формулы арифметических прогрессий

Формулы геометрических прогрессий

Примеры решения задач