Формула суммы геометрической прогрессии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Последовательность чисел вида $\left\{ {b}_{1},{b}_{1}q,{b}_{1}{q}^{2},{b}_{1}{q}^{3},... \right\}$ называется геометрической прогрессией с первым членом ${b}_{1}$ и разностью $q$ .

Сумму первых $n$ членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:

${S}_{n}=\frac{{b}_{1}({q}^{n}-1)}{q-1}$

Если геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей (знаменатель $\left| q \right|<1$ ), то ее сумма находится по формуле:

$S=\frac{{b}_{1}}{1-q}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, у которой ${b}_{1}=8,\ q=0,5$
Решение	Вычислим сумму первых шести членов геометрической прогрессии, подставив заданные значения в формулу суммы: ${S}_{6}=\frac{8\cdot \left( {{\left( 0,5 \right)}^{6}}-1 \right)}{0,5-1}=15,75$
Ответ	${S}_{6}=15,75$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти сумму геометрической прогрессии

$\frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{8},-\frac{1}{16},...$

Решение

Первый член прогрессии ${b}_{1}=\frac{1}{2}$ . Найдем знаменатель данной прогрессии, разделив любой ее член на предыдущий:

$q=\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}=\left( -\frac{1}{4} \right)\text{:}\left( \frac{\text{1}}{\text{2}} \right)=-\frac{1}{2}$

Поскольку $\left| q \right|=\frac{1}{2}<1$ , то заданная прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией и тогда ее сумма

$S=\frac{\frac{1}{2}}{1-\left( -\frac{1}{2} \right)}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}$

Ответ

$S=\frac{1}{3}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Формула суммы геометрической прогрессии

Примеры решения задач