Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула суммы геометрической прогрессии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Последовательность чисел вида \left\{ {b}_{1},{b}_{1}q,{b}_{1}{q}^{2},{b}_{1}{q}^{3},... \right\} называется геометрической прогрессией с первым членом {b}_{1} и разностью q.

Сумму первых n членов геометрической прогрессии можно вычислить по формуле:

    \[  {S}_{n}=\frac{{b}_{1}({q}^{n}-1)}{q-1}\]

Если геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей (знаменатель \left| q \right|<1), то ее сумма находится по формуле:

    \[  S=\frac{{b}_{1}}{1-q}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, у которой {b}_{1}=8,\ q=0,5
Решение Вычислим сумму первых шести членов геометрической прогрессии, подставив заданные значения в формулу суммы:

    \[{S}_{6}=\frac{8\cdot \left( {{\left( 0,5 \right)}^{6}}-1 \right)}{0,5-1}=15,75\]

Ответ {S}_{6}=15,75
ПРИМЕР 2
Задание Найти сумму геометрической прогрессии

    \[ \frac{1}{2},-\frac{1}{4},\frac{1}{8},-\frac{1}{16},... \]

Решение Первый член прогрессии {b}_{1}=\frac{1}{2}. Найдем знаменатель данной прогрессии, разделив любой ее член на предыдущий:

    \[q=\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}=\left( -\frac{1}{4} \right)\text{:}\left( \frac{\text{1}}{\text{2}} \right)=-\frac{1}{2}\]

Поскольку \left| q \right|=\frac{1}{2}<1, то заданная прогрессия является бесконечно убывающей геометрической прогрессией и тогда ее сумма

    \[S=\frac{\frac{1}{2}}{1-\left( -\frac{1}{2} \right)}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}}=\frac{1}{3}\]

Ответ S=\frac{1}{3}