Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формулы геометрической прогрессии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Геометрической прогрессией называется последовательность чисел B=\left\{ {b}_{1},{b}_{2},...,{b}_{n},... \right\},\ {b}_{1}\ne 0, каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на постоянного числа q, т.е последовательность задается соотношением:

    \[  {b}_{n}={b}_{n-1}\cdot q\]

Основные формулы геометрической прогрессии

Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. Любой член геометрической прогрессии можно найти по формуле:

    \[{b}_{n}={b}_{1}\cdot {q}^{n-1}\]

Последовательность чисел \left\{ {b}_{1},{b}_{2},...,{b}_{n},... \right\} будет геометрической прогрессией в том случае, когда для любого ее члена выполняется равенство

    \[{b}_{n}^{2}={b}_{n-1}\cdot {b}_{n+1}\]

Сумму первых n членов геометрической прогрессии можно посчитать, используя формулу:

    \[{S}_{n}=\frac{{b}_{1}({q}^{n}-1)}{(q-1)}\]

Если знаменатель прогрессии |q|<1, то такая прогрессия называется бесконечной убывающей геометрической прогрессией и ее сумма вычисляется по формуле:

    \[{S}_{n}=\frac{{b}_{1}}{(q-1)}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Последовательность ({b}_{n}) – геометрическая прогрессия. Найти {b}_{12}, если {b}_{1}=\frac{2}{3},\ q=\frac{1}{2}
Решение Чтобы найти двенадцатый член геометрической прогрессии, воспользуемся формулой для вычисления n-ого члена:

    \[{b}_{n}={b}_{1}\cdot {q}^{n-1}\]

Подставим в нее данные из условия задачи, будем иметь:

    \[{b}_{12}={b}_{1}\cdot {{q}^{12-1}}=\frac{2}{3}\cdot {{\left( \frac{1}{2} \right)}^{11}}=\frac{1}{3072}\]

Ответ {b}_{12}=\frac{1}{3072}
ПРИМЕР 2
Задание Между числами 16 и 4 вставить положительное число так, чтобы полученная тройка чисел образовала геометрическую прогрессию.
Решение Занумеруем искомую тройку {b}_{1}=16,\ {b}_{2},\ {b}_{3}=4. Для того, чтобы они были членами геометрической прогрессии, требуется выполнение условия

    \[{b}_{n}^{2}={b}_{n-1}\cdot {b}_{n+1}\]

или

    \[{b}_{2}^{2}={b}_{1}\cdot {b}_{3}=16\cdot 4=64\]

откуда получаем, что искомый член геометрической прогрессии

    \[{b}_{2}=8\]

Ответ {b}_{2}=8