Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и ее формулы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Числовая последовательность $B=\left\{ {b}_{1},{b}_{2},...,{b}_{n},... \right\}$ , каждый член которой равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число $q$ , называется геометрической прогрессией. Число $q$ называется знаменателем прогрессии.

Если знаменатель $|q|<1$ , то такая последовательность называется бесконечной убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Суммой бесконечно убывающей прогрессии является число, к которому неограниченно приближается сумма первых $n$ членов убывающей прогрессии при стремлении числа $n$ к бесконечности. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

${S}_{n}=\frac{{b}_{1}}{{1-q}}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии $1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},...$ .

Решение

Данная последовательность чисел будет бесконечной убывающей прогрессией, так как

$q=\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}=\frac{1}{3}<1$

Сумму данной бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычислим по формуле:

${S}_{n}=\frac{{b}_{1}}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}$

Ответ

${S}_{n}=\frac{3}{2}$

ПРИМЕР 2

Задание

Представить в виде обыкновенной дроби число $0,(6)$

Решение

Запись числа в виде $0,(6)$ означает периодическую дробь $0,666...$ , которую можно представить в виде следующей суммы:

$0,(6)=0,6+0,06+0,006+...$

Данная сумма представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом ${b}_{1}=0,6$ и знаменателем $q=0,1$ . Найдем эту сумму по формуле

${S}_{n}=\frac{{b}_{1}}{1-q}=\frac{0,6}{1-0,1}=\frac{0,6}{0,9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$

Следовательно, $0,(6)=\frac{2}{3}$

Ответ

$0,(6)=\frac{2}{3}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и ее формулы

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Примеры решения задач