Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Бесконечная убывающая геометрическая прогрессия и ее формулы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Числовая последовательность B=\left\{ {b}_{1},{b}_{2},...,{b}_{n},... \right\}, каждый член которой равен предыдущему, умноженному на постоянное для этой последовательности число q, называется геометрической прогрессией. Число q называется знаменателем прогрессии.

Если знаменатель |q|<1, то такая последовательность называется бесконечной убывающей геометрической прогрессией.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Суммой бесконечно убывающей прогрессии является число, к которому неограниченно приближается сумма первых n членов убывающей прогрессии при стремлении числа n к бесконечности. Сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

    \[{S}_{n}=\frac{{b}_{1}}{{1-q}}\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},....
Решение Данная последовательность чисел будет бесконечной убывающей прогрессией, так как

    \[q=\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}=\frac{1}{3}<1\]

Сумму данной бесконечной убывающей геометрической прогрессии вычислим по формуле:

    \[{S}_{n}=\frac{{b}_{1}}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}\]

Ответ {S}_{n}=\frac{3}{2}
ПРИМЕР 2
Задание Представить в виде обыкновенной дроби число 0,(6)
Решение Запись числа в виде 0,(6) означает периодическую дробь 0,666..., которую можно представить в виде следующей суммы:

    \[0,(6)=0,6+0,06+0,006+...\]

Данная сумма представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии с первым членом {b}_{1}=0,6 и знаменателем q=0,1. Найдем эту сумму по формуле

    \[{S}_{n}=\frac{{b}_{1}}{1-q}=\frac{0,6}{1-0,1}=\frac{0,6}{0,9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\]

Следовательно, 0,(6)=\frac{2}{3}

Ответ 0,(6)=\frac{2}{3}