Формула знаменателя геометрической прогрессии

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и тоже число $q$ , которое называется знаменателем прогрессии.

Пусть $B=\left\{ {b}_{1},{b}_{2},...,{b}_{n},... \right\}$ – геометрическая прогрессия, ${b}_{n}$ – $n$ -ый член прогрессии, тогда знаменатель этой прогрессии можно вычислить по формуле:

$q=\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$

Если разность геометрической прогрессии $q>1$ , то прогрессия будет возрастающей, если же $|q|<1$ , то прогрессия – убывающая.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти знаменатель геометрической прогрессии $({b}_{n})$ , если ${b}_{5}=-6,\ {b}_{7}=-54$

Решение

Выразим ${b}_{7}$ через ${b}_{5}$ с помощью знаменателя прогрессии $q$ :

${b}_{7}={b}_{6}\cdot q=({b}_{5}\cdot q)\cdot q={b}_{5}\cdot {q}^{2}$

откуда

${q}^{2}=\frac{{b}_{7}}{{b}_{5}}=\frac{-54}{-6}=9\Rightarrow q=\pm 3$

Ответ

$q=\pm 3$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти знаменатель прогрессии. Геометрическая прогрессия задана следующими соотношениями

$\begin{cases} {b}_{1}+{b}_{3}=50 \\ {b}_{2}+{b}_{4}=150 \end{cases} \right$

Решение

Выразим все члены прогрессии через первый член ${b}_{1}$ и знаменатель $q$ :

${b}_{2}={b}_{1}q,\ {b}_{3}={b}_{1}{q}^{2},\ {b}_{4}={b}_{1}{q}^{3}$

Подставим полученные выражения в заданную систему:

$\begin{cases} {b}_{1}+{b}_{1}{q}^{2}=50 \\ {b}_{1}q+{b}_{1}{q}^{3}=150 \end{cases} \right$

Разделим первое уравнение на второе и выразим знаменатель $q$ :

$\frac{{b}_{1}+{b}_{1}{q}^{2}}{{b}_{1}q+{b}_{1}{q}^{3}}=\frac{50}{150}\Rightarrow \frac{{b}_{1}+{b}_{1}{q}^{2}}{q({b}_{1}+{b}_{1}{q}^{2})}=\frac{1}{3}\Rightarrow q=3$

Ответ

$q=3$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Формула знаменателя геометрической прогрессии

Примеры решения задач