Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Свободное падение. Ускорение свободного падения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Свободное падение — движение тела в пустоте под действием силы тяжести.

Для свободно падающих тел справедлив закон Галилея: все тела под действием земного притяжения падают на Землю с одинаковым ускорением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Ускорение, с которым падают на Землю тела, называется ускорением свободного падения.

Ускорение свободного падения обозначается символом \overline{g}. Вектор ускорения свободного падения всегда направлен вертикально вниз (в общем случае — к центру Земли).

Ускорение свободного падения зависит от географической широты местности и неодинаково в различных точках земного шара, изменяясь примерно от 9,83 м/с ^{2} на полюсах до 9,78 м/с ^{2} на экваторе. Ускорение свободного падения также зависит от высоты тела над поверхностью Земли: чем выше находится тело, тем меньше ускорение свободного падения. Однако, при расчетах, не требующих высокой точности, ускорение свободного падения у поверхности Земли принимают равным 9,8 м/с ^{2} .

Пример свободного падения и основные формулы

Простым примером свободного падения является падение тела без начальной скорости с некоторой высоты h. Направим координатную ось y вертикально вверх и совместим начало координат с поверхностью Земли (рис.1). Пользуясь формулами для равноускоренного движения, определим основные характеристики свободного падения:

Рис.1. Падение тела с некоторой высоты без начальной скорости

Ускорение:

    \[\overline{a}=\overline{g}\]

Скорость:

    \[\overline{v}=\overline{g}t\]

Координата:

    \[y=h-\frac{gt^2}{2}\]

Из условия y=0, можно найти время падения тела на Землю:

    \[t_p=\sqrt{\frac{2h}{g}}\]

Скорость тела в любой точке:

    \[v=\sqrt{2g(h-y)}\ \]

скорость тела в момент падения на Землю:

    \[v_p=\sqrt{2gh}\]

Следует также помнить о том, что свободное падение — это не всегда движение вниз. Тело, брошенное с некоторой начальной скоростью вертикально вверх, также будет двигаться равноускоренно с ускорением \overline{g}. При этом, так как векторы скорости и ускорения противоположно направлены, модуль скорости сначала будет уменьшаться до нуля. Потом тело, достигнув некоторой максимальной высоты, изменит направление движения и будет двигаться вниз.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В последнюю секунду свободного падения тело прошло половину своего пути. С какой высоты и сколько времени падало тело?
Решение Тело совершает свободное падение с начальной скоростью, равной нулю (рис.1).

При таком движении координата тела меняется со временем по закону:

    \[y=h-\frac{gt^2}{2}\]

В момент падения тела на Землю, его координата равна нулю:

Из условия y=0, можно найти время падения тела на Землю:

    \[h-\frac{gt^2}{2}=0\]

откуда время падения:

    \[t_p=\sqrt{\frac{2h}{g}}\]

За 1 секунду до падения время t=t_p-1, а координата тела, согласно условию задачи:

    \[y=\frac{h}{2}\]

поэтому можно записать:

    \[\frac{h}{2}=h-\frac{g{\left(t_p-1\right)}^2}{2}\ \]

    \[h=g{\left(t_p-1\right)}^2\]

    \[{\left(t_p-1\right)}^2=\frac{h}{g}\]

    \[t_p=\sqrt{\frac{h}{g}}+1\]

Подставив в последнее соотношение выражение для времени падения, находим высоту, с которой падало тело:

    \[\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{h}{g}}+1\ \]

    \[\sqrt{\frac{h}{g}}\cdot \left(\sqrt{2}-1\right)=1\]

    \[\sqrt{\frac{h}{g}}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}\]

    \[h=\frac{g}{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}=\frac{g}{\left(3-2\sqrt{2}\right)}=\left(3+2\sqrt{2}\right)g\]

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2} .

Высота, с которой падало тело:

    \[h=\left(3+2\sqrt{2}\right)\cdot 9,8=57,1 m\]

Время падения тела:

    \[t_p=\sqrt{\frac{2\cdot 57,1}{9,8}}=3,4 c\]

Ответ Тело падало с высоты 57,1 м в течение 3,4 с.
ПРИМЕР 2
Задание Два тела начинают падать с одной и той же высоты одно вслед за другим через 1 с. Через какое время, считая от начала падения первого тела, расстояние между телами будет равно 10 м?
Решение Направим координатную ось как показано на рисунке.

Запишем законы движения обоих тел, учитывая, что они падают без начальной скорости:

    \[y_1=h-\frac{gt^2}{2}\ \]

    \[y_2=h-\frac{g{\left(t-\Delta t\right)}^2}{2}\ \]

Расстояние между телами в процессе падения:

    \[s=y_2-y_1=h-\frac{g{\left(t-\Delta t\right)}^2}{2}-h+\frac{gt^2}{2}=\]

    \[=\frac{gt^2}{2}-\frac{g{\left(t-\Delta t\right)}^2}{2}=\frac{gt^2}{2}-\frac{gt^2}{2}+g\Delta t\cdot t-\frac{g{\Delta t}^2}{2}=\]

    \[=g\Delta t\cdot t-\frac{g{\Delta t}^2}{2}\]

Таким образом, расстояние между телами:

    \[s=g\Delta t\cdot t-\frac{g{\Delta t}^2}{2}\]

откуда время:

    \[g\Delta t\cdot t=s+\frac{g{\Delta t}^2}{2}\]

    \[t=\frac{s}{g\Delta t}+\frac{\Delta t}{2}\]

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2} .

Подставив в формулу численные значения физических величин, получим:

    \[t=\frac{10}{9,8\cdot 1}+\frac{1}{2}=1,5 c\]

Ответ Расстояние между падающими телами достигнет значения 10 м через 1,5 с.