Свободное падение. Ускорение свободного падения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Свободное падение — движение тела в пустоте под действием силы тяжести.

Для свободно падающих тел справедлив закон Галилея: все тела под действием земного притяжения падают на Землю с одинаковым ускорением.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Ускорение, с которым падают на Землю тела, называется ускорением свободного падения.

Ускорение свободного падения обозначается символом $\overline{g}$ . Вектор ускорения свободного падения всегда направлен вертикально вниз (в общем случае — к центру Земли).

Ускорение свободного падения зависит от географической широты местности и неодинаково в различных точках земного шара, изменяясь примерно от $9,83$ м/с $^{2}$ на полюсах до $9,78$ м/с $^{2}$ на экваторе. Ускорение свободного падения также зависит от высоты тела над поверхностью Земли: чем выше находится тело, тем меньше ускорение свободного падения. Однако, при расчетах, не требующих высокой точности, ускорение свободного падения у поверхности Земли принимают равным $9,8$ м/с $^{2}$ .

Пример свободного падения и основные формулы

Простым примером свободного падения является падение тела без начальной скорости с некоторой высоты $h.$ Направим координатную ось $y$ вертикально вверх и совместим начало координат с поверхностью Земли (рис.1). Пользуясь формулами для равноускоренного движения, определим основные характеристики свободного падения:

Рис.1. Падение тела с некоторой высоты без начальной скорости

Ускорение:

$\overline{a}=\overline{g}$

Скорость:

$\overline{v}=\overline{g}t$

Координата:

$y=h-\frac{gt^2}{2}$

Из условия $y=0$ , можно найти время падения тела на Землю:

$t_p=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

Скорость тела в любой точке:

$v=\sqrt{2g(h-y)}\$

скорость тела в момент падения на Землю:

$v_p=\sqrt{2gh}$

Следует также помнить о том, что свободное падение — это не всегда движение вниз. Тело, брошенное с некоторой начальной скоростью вертикально вверх, также будет двигаться равноускоренно с ускорением $\overline{g}$ . При этом, так как векторы скорости и ускорения противоположно направлены, модуль скорости сначала будет уменьшаться до нуля. Потом тело, достигнув некоторой максимальной высоты, изменит направление движения и будет двигаться вниз.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В последнюю секунду свободного падения тело прошло половину своего пути. С какой высоты и сколько времени падало тело?

Решение

Тело совершает свободное падение с начальной скоростью, равной нулю (рис.1).

При таком движении координата тела меняется со временем по закону:

$y=h-\frac{gt^2}{2}$

В момент падения тела на Землю, его координата равна нулю:

Из условия $y=0$ , можно найти время падения тела на Землю:

$h-\frac{gt^2}{2}=0$

откуда время падения:

$t_p=\sqrt{\frac{2h}{g}}$

За 1 секунду до падения время $t=t_p-1$ , а координата тела, согласно условию задачи:

$y=\frac{h}{2}$

поэтому можно записать:

$\frac{h}{2}=h-\frac{g{\left(t_p-1\right)}^2}{2}\$

$h=g{\left(t_p-1\right)}^2$

${\left(t_p-1\right)}^2=\frac{h}{g}$

$t_p=\sqrt{\frac{h}{g}}+1$

Подставив в последнее соотношение выражение для времени падения, находим высоту, с которой падало тело:

$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{h}{g}}+1\$

$\sqrt{\frac{h}{g}}\cdot \left(\sqrt{2}-1\right)=1$

$\sqrt{\frac{h}{g}}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$

$h=\frac{g}{{\left(\sqrt{2}-1\right)}^2}=\frac{g}{\left(3-2\sqrt{2}\right)}=\left(3+2\sqrt{2}\right)g$

Ускорение свободного падения $g=9,8$ м/с $^{2}$ .

Высота, с которой падало тело:

$h=\left(3+2\sqrt{2}\right)\cdot 9,8=57,1 m$

Время падения тела:

$t_p=\sqrt{\frac{2\cdot 57,1}{9,8}}=3,4 c$

Ответ

Тело падало с высоты 57,1 м в течение 3,4 с.

ПРИМЕР 2

Задание

Два тела начинают падать с одной и той же высоты одно вслед за другим через 1 с. Через какое время, считая от начала падения первого тела, расстояние между телами будет равно 10 м?

Решение

Направим координатную ось как показано на рисунке.