Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Движение тела под углом к горизонту, как и движение тела, брошенного горизонтально — это сложное криволинейное движение, которое можно представить в виде суммы двух независимых движений — равномерного прямолинейного движения в горизонтальном направлении и свободного падения по вертикали.

Основные характеристики и формулы

Выберем систему координат, как показано на рис.1, и запишем законы изменения основных кинематических величин для обоих направлений.

Рис.1. Движение тела, брошенного под углом к горизонту

По горизонтали (вдоль оси x):

начальное положение x_0=0, начальная скорость v_{0x}=v_0\cos\alpha, скорость v_x=v_{0x}=v_0\cos\alpha , ускорение a_x=0, закон движения:

    \[x=v_0\cos\alpha t\]

По вертикали (вдоль оси y):

начальное положение y_0=0, начальная скорость v_{0y}=v_0\sin\alpha, скорость v_y=v_{0y}-gt=v_0\sin\alpha -gt, ускорение a_y=-g, закон движения:

    \[y=v_0\sin\alpha t-\frac{gt^2}{2}\]

Приведенные выше кинематические характеристики движения позволяют определить максимальную высоту подъема тела, время и дальность полета.

При достижении максимальной высоты подъема y — составляющая скорости тела обращается в нуль:

    \[v_0\sin\alpha -gt=0\]

откуда время подъема тела

    \[t_0=\frac{v_0\sin\alpha }{g}\]

Время полета тела:

    \[{t_p=2t}_0=\frac{{2v}_0\sin\alpha }{g}\]

В верхней точке траектории y — координата тела равна максимальной высоте подъема:

    \[h_{max}=v_0\sin\alpha t_0-\frac{g{t_0}^2}{2}=\frac{{v_0}^2{\sin}^2\alpha }{g}-\frac{{v_0}^2{\sin}^2\alpha }{2g}=\frac{{v_0}^2{\sin}^2\alpha }{2g}\]

В момент падения x — координата тела равна дальности полета, поэтому:

    \[L=v_0\cos\alpha t_p=v_0\cos\alpha \cdot \frac{{2v}_0\sin\alpha }{g}=\frac{{v_0}^2\sin2\alpha }{g}\]

Траекторией движения тела, брошенного под углом к горизонту, является парабола.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Бросив камень под углом \alpha ={45}^\circ к горизонту, необходимо попасть в цель, находящуюся на расстоянии L=12 м от места бросания и на высоте h=2 м. С какой скоростью необходимо бросить камень?
Решение Направим координатные оси, как показано на рисунке.

Представим сложное криволинейное движение в виде суммы независимых движений в горизонтальном и вертикальном направлениях и запишем законы изменения координат камня со временем:

    \[\left\{ \begin{array}{c} 				x=v_0\cos\alpha t \\  				y=v_0\sin\alpha t-\frac{gt^2}{2} \end{array} 				\right.\ \]

В момент попадания в цель камень будет иметь координаты \left(L,\ h\right), поэтому система уравнений запишется в виде:

    \[\left\{ \begin{array}{c} 				v_0\cos\alpha t=L \\  				v_0\sin\alpha t-\frac{gt^2}{2}=h \end{array} 				\ \ \right.\ \ \]

откуда, решая систему методом подстановки, будем искать начальную скорость камня v_0.

Выразим время из первого уравнения:

    \[t=\frac{L}{v_0\cos\alpha }\]

и подставим это соотношение во втрое уравнение:

    \[v_0\sin\alpha \cdot \frac{L}{v_0\cos\alpha }-\frac{g}{2}\cdot \frac{L^2}{{\left(v_0\cos\alpha \right)}^2}=h\]

    \[\frac{2{v_0}^2\sin\alpha \cos\alpha L-gL^2}{2{\left(v_0\cos\alpha \right)}^2}=h\]

    \[\frac{{v_0}^2L\sin2\alpha -gL^2}{2{v_0}^2{\cos}^2\alpha }=h\]

    \[{v_0}^2L\sin2\alpha -2{v_0}^2{h\cos}^2\alpha =gL^2\]

    \[{v_0}^2\left(L\sin2\alpha -2h{\cos}^2\alpha \right)=gL^2\]

    \[v_0=\sqrt{\frac{gL^2}{L\sin2\alpha -2h{\cos}^2\alpha }\ }\]

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2} .

Подставив в формулу численные значения физических величин, вычислим:

    \[v_0=\sqrt{\frac{9,8\cdot {12}^2}{12\cdot \sin{90}^\circ-2\cdot 2\cdot {\cos}^2{45}^\circ}}=12\ m/c \]

Ответ Камень необходимо бросить со скоростью 12 м/с.
ПРИМЕР 2
Задание Под углом \alpha ={60}^\circ к горизонту брошено тело с начальной скоростью 20 м/с. Через сколько времени оно будет двигаться под углом {45}^\circ к горизонту?
Решение Выберем систему координат, как показано на рисунке.

Из рисунка видно, что

    \[tg\varphi =\frac{v_y}{v_x}\]

Запишем зависимости от времени x — и y — составляющих скорости тела:

    \[{v_x=v}_0\cos\alpha \]

    \[{v_y=v}_0\sin\alpha -gt\]

Подставив эти соотношения в формулу для тангенса угла, который составляет траектория полета тела с горизонтом, а также учитывая, что в данном случае \text{tg }\varphi =\text{tg }{45}^\circ=1, получим:

    \[\frac{v_0\sin\alpha -gt}{v_0\cos\alpha }=1\]

откуда

    \[v_0\sin\alpha -gt=v_0\cos\alpha \]

    \[gt=v_0\left(\sin\alpha -\cos\alpha \right)\]

    \[t=\frac{v_0\left(\sin\alpha -\cos\alpha \right)}{g}\]

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2}.

Подставив в формулу численные значения физических величин, вычислим:

    \[t=\frac{20(\sin{60}^\circ-\cos{60}^\circ)}{9,8}=0,75\ c\]

Ответ Тело будет двигаться под углом {45}^\circ к горизонту через 0,75 c.