Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Равноускоренное движение

Равноускоренное прямолинейное движение

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Равноускоренное прямолинейное движение — это такое движение, при котором скорость тела за равные промежутки времени изменяется одинаково, другими словами, это движение с постоянным ускорением.

Траектория движения в данном случае — прямая линия.

Основные формулы и кинематические характеристики

Ускорение \overline{a}=const (по модулю и по направлению).

Скорость тела меняется по закону

    \[\overline{v}={\overline{v}}_0+\overline{a}t\]

где {\overline{v}}_0-начальная скорость движения.

Закон движения в случае равноускоренного движения имеет вид:

    \[\overline{r}={\overline{r}}_0+{\overline{v}}_0t+\frac{\overline{a}t^2}{2}\ \]

где \overline{r}- радиус-вектор точки в момент времени t, \overline{r}_0- радиус-вектор начального положения точки, {\overline{v}}_0- начальная скорость, \overline{a}-ускорение.

В одномерном случае закон движения запишется в виде:

    \[x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2}\ \]

Для двумерного случая (движения по плоскости) закон движения в случае равноускоренного движения запишется в виде системы двух уравнений:

    \[\left\{ \begin{array}{c} x=x_0+v_{0x}t+\frac{a_xt^2}{2} \\  y=y+v_{0y}t+\frac{a_yt^2}{2} \end{array} \right.\]

Также справедлива так называемая формула для определения пути «без времени»:

    \[s=\frac{v^2-{v_0}^2}{2a}\ .\]

Графическое изображение зависимости кинематических характеристик от времени представлено на рисунках 1-3.

Рис.1. Зависимость ускорения от времени при равноускоренном движении

Рис.2. Зависимость скорости от времени при равноускоренном движении: а) закон изменения скорости для различных случаев; б) определение перемещения с помощью графика скорости.

Рис.3. Зависимость перемещения от времени при равноускоренном движении.

На рис.1 изображен график зависимости ускорения от времени при равноускоренном движении. Случай a>0 соответствует равноускоренному движению, случай a<0 — равнозамедленному движению, случай a=0 — равномерному движению. Площадь заштрихованного прямоугольника численно равна средней скорости движения тела.

На рис.2 представлена зависимость скорости от времени при равноускоренном движении. Рис.2 (а) демонстрирует разные случаи движения: 1- тело двигалось в направлении оси x равноускоренно; 2 — тело двигалось равнозамедленно в направлении оси x, затем остановилось и поменяло направление движения; 3- тело двигалось равноускоренно в направлении, противоположном оси x, затем остановилось и стало двигаться в противоположном направлении. Во всех трех случаях тело имело начальные скорости.

По графику скорости можно определить ускорение движущегося объекта как тангенс угла наклона прямой зависимости a(t) к оси x.

Площадь заштрихованной трапеции (рис.2 (б)) численно равна пути, пройденному телом за время \Delta t=t_2-t_1\ .

Зависимость перемещения от времени при равноускоренном движении — это квадратичная функция (рис.3). Положение вершины параболы зависит от направлений начальной скорости и ускорения.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание По графику зависимости a_x(t), изображенному на рисунке, построить график зависимости v_x(t), считая, что в начальный момент времени (t=0) скорость движения материальной точки равна нулю.
Решение При равноускоренном движении скорость v_x материальной точки изменяется по закону:

    \[v_x\left(t\right)=v_{0x}+a_xt\ \]

Так как по условию задачи v_{0x}=0, можно переписать:

    \[v_x\left(t\right)=v_{0x}+a_xt\ \]

На первом участке 0\le t<1 ускорение a_x=1 м/с ^{2}, v_x\left(t\right)=t. На втором участке 1\le t<3 ускорение a_x=-1 м/с ^{2}, v_x\left(t\right)=-t. График скорости имеет вид:
ПРИМЕР 2
Задание На шоссе с одного старта с интервалом в 2 с начали движение сначала велосипедист, а затем мотоциклист. После старта велосипедист двигался равномерно со скоростью 32 км/ч, а мотоциклист — равноускоренно с ускорением 2,5 м/с ^{2}. Определить скорость мотоциклиста в тот момент, когда он достиг велосипедиста.
Решение 1) Аналитический способ.

Считаем шоссе прямолинейным. Запишем уравнение движения велосипедиста. Так как велосипедист двигался равномерно, то его уравнение движения:

    \[x_1\left(t\right)=v_1t\]

(начало координат помещаем в точку старта, поэтому начальная координата велосипедиста равна нулю).

Мотоциклист двигался равноускоренно. Он также начал движение с места старта, поэтому его начальная координата равна нулю, начальная скорость мотоциклиста также равна нулю (мотоциклист начал двигаться из состояния покоя).

Учитывая, что мотоциклист начал движение на \Delta t позже, уравнение движения мотоциклиста:

    \[x_2=\frac{a{\left(t-\Delta t\right)}^2}{2}\]

При этом скорость мотоциклиста изменялась по закону:

    \[v_2\left(t\right)=at\]

В момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста их координаты равны, т.е. x_1=x_2 или:

    \[v_1t=\frac{a{\left(t-\Delta t\right)}^2}{2}\ \]

Решая это уравнение относительно t, находим время встречи:

    \[{\left(t-\Delta t\right)}^2=\frac{2v_1}{a}t;\]

    \[t^2-2\Delta t\cdot t+\Delta t^2-\frac{2v_1}{a}t=0;\]

    \[t^2-2\left(\frac{v_1}{a}+\Delta t\right)t+\Delta t^2=0;\]

Это квадратное уравнение. Определяем дискриминант:

    \[D=4{\left(\frac{v_1}{a}+\Delta t\right)}^2-4\Delta t^2=4\frac{{v_1}^2}{a^2}+8\frac{v_1\Delta t}{a}+4\Delta t^2-4\Delta t^2=4\frac{v_1}{a}\left(\frac{v_1}{a}+2\Delta t\right);\]

Определяем корни:

    \[t_1=\frac{2\left(\frac{v_1}{a}+\Delta t\right)+2\sqrt{\frac{v_1}{a}\left(\frac{v_1}{a}+2\Delta t\right)}}{2}=\frac{v_1}{a}+\Delta t+\sqrt{\frac{v_1}{a}\left(\frac{v_1}{a}+2\Delta t\right)};\]

    \[t_2=\frac{v_1}{a}+\Delta t-\sqrt{\frac{v_1}{a}\left(\frac{v_1}{a}+2\Delta t\right)};\]

Подставим в формулы числовые значения и вычислим:

    \[t_1=\frac{8,9}{2,5}+2+\sqrt{\frac{8,9}{2,5}\left(\frac{8,9}{2,5}+2\cdot 2\right)}=10,75 c\]

    \[t_2=\frac{8,9}{2,5}+2-\sqrt{\frac{8,9}{2,5}\left(\frac{8,9}{2,5}+2\cdot 2\right)}=0,37 c\]

Второй корень отбрасываем как несоответствующий физическим условиям задачи: мотоциклист не мог догнать велосипедиста через 0,37 с после начала движения велосипедиста, так как сам покинул точку старта только через 2 с после того, как стартовал велосипедист.

Таким образом, время, когда мотоциклист догнал велосипедиста:

    \[t_m=10,75 c\]

Подставим это значение времени в формулу закона изменения скорости мотоциклиста и найдем значение его скорости в этот момент:

    \[v_2\left(t_m\right)=v_2\left(10,75\right)=2,5\cdot 10,75=26,9\ m/c \]

2) Графический способ.

На одной координатной плоскости строим графики изменения со временем координат велосипедиста и мотоциклиста (график для координаты велосипедиста — красным цветом, для мотоциклиста — зеленым). Видно, что зависимость координаты от времени для велосипедиста — линейная функция, и график этой функции — прямая (случай равномерного прямолинейного движения). Мотоциклист двигался равноускоренно, поэтому зависимость координаты мотоциклиста от времени — квадратичная функция, графиком которой является парабола.

Координата времени для точки пересечения графика — это и есть время встречи велосипедиста и мотоциклиста t_m.

Графики зависимости от времени координат велосипедиста и мотоциклиста:

Далее строим график зависимости скорости мотоциклиста от времени v_2(t). На оси времени (горизонтальная ось) находим отметку t_m=10,75\ c, строим перпендикуляр до пересечения с графиком (синий пунктир), и из этой точки опускаем перпендикуляр на вертикальную ось (синий пунктир). Точка пересечения этого перпендикуляра с вертикальной осью и даст нам значение скорости в момент времени t_m, т.е. в момент, когда мотоциклист догнал велосипедиста.

График зависимости от времени скорости мотоциклиста:

Ответ Скорость мотоциклиста в тот момент, когда он достиг велосипедиста будет 26,9 м/с.