Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Движение тела, брошенного горизонтально

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Движение тела, брошенного горизонтально — это сложное движение по криволинейной траектории, которое можно представить как сумму двух независимых друг от друга движений — равномерного прямолинейного движения по горизонтали и свободного падения по вертикали.

Основные характеристики и формулы

Для кинематического описания движения выберем систему координат, как показано на рис.1, и запишем законы изменения кинематических характеристик движения тела для каждого из направлений.

Рис.1. Движение тела, брошенного горизонтально

По горизонтали (вдоль оси x):

начальное положение x_0=0, начальная скорость v_{0x}=v_0, скорость v_x=v_0, ускорение a_x=0, закон движения:

    \[x=v_0t\]

По вертикали (вдоль оси y):

начальное положение y_0=h, начальная скорость v_{0y}=0, скорость v_y=-gt, ускорение a_y=-g, закон движения:

    \[y=h-\frac{gt^2}{2}\]

Используя приведенные выше законы движения, можно найти время и дальность полета тела.

В точке падения y — координата тела равна нулю, поэтому можно записать:

    \[h-\frac{gt^2}{2}=0\]

откуда время полета:

    \[t_p=\sqrt{\frac{2h}{g}}\]

x — координата тела в точке падения равна дальности полета и является расстоянием, пройденным телом вдоль оси x за время t_p:

    \[L=v_0t_p=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}\]

Знание законов изменения координат тела с течением времени позволяет рассчитать траекторию тела. Выразив время из закона движения вдоль горизонтального направления:

    \[t=\frac{x}{v_0}\ \]

подставим это выражение в закон движения вдоль вертикального направления и получим уравнение траектории тела:

    \[y=h-\frac{g}{2{v_0}^2}\cdot x^2\]

Полученное уравнение траектории показывает, что тело, брошенное горизонтально, двигается по параболе, вершина которой находится в точке бросания.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Камень бросили горизонтально с некоторой высоты. Через t=2\ c его скорость оказалась направлена под углом \alpha ={55}^\circ к горизонту. Чему равна начальная скорость камня.
Решение Выберем систему координат, как показано на рисунке.

Представим сложное криволинейное движение в виде суммы независимых движений в горизонтальном и вертикальном направлениях и запишем законы изменения со временем горизонтальной и вертикальной компонент вектора скорости:

v_x=v_0 (горизонтальная составляющая вектора скорости не зависит от времени);

    \[v_y=-gt\]

Скорость тела:

    \[v=\sqrt{{v_x}^2+{v_y}^2}=\sqrt{{v_0}^2+g^2t^2}\]

Горизонтальная составляющая вектора скорости — это проекция вектора скорости на ось x, поэтому:

    \[v_x=v\cos\alpha \]

или

    \[v=\frac{v_0}{\cos\alpha }\]

Приравнивая правые части соотношений для скорости тела, получим:

    \[\frac{v_0}{\cos\alpha }=\sqrt{{v_0}^2+g^2t^2}\]

    \[\frac{{v_0}^2}{{\cos}^2\alpha }={v_0}^2+g^2t^2\]

    \[{v_0}^2\left(\frac{1}{{\cos}^2\alpha }-1\right)=g^2t^2\]

Воспользуемся тригонометрической формулой:

    \[\frac{1}{{\cos}^2\alpha }=1+\text{tg} ^2\alpha \]

получим:

    \[{v_0}^2\left(1+\text{tg}^2\alpha -1\right)=g^2t^2\]

откуда начальная скорость тела:

    \[v_0=\frac{gt}{\text{tg }\alpha }\]

Ускорение свободного падения g=9,8 м/с ^{2} .

Подставив в формулу численные значения физических величин, получим:

    \[v_0=\frac{9,8\cdot 2}{\text{tg }{55}^\circ}=14 m/c \]

Ответ Начальная скорость камня 14 м/с.
ПРИМЕР 2
Задание Из двух пунктов отвесного берега. находящихся на некоторой высоте от поверхности воды, одновременно бросают в горизонтальном направлении два тела. Начальные скорости тел 5 и 7,5 м/с . Оба тела падают в воду одновременно. Расстояние от берега до точки падения первого тела в воду 10 м. Определить: 1) продолжительность полета тел; 2) высоту, с которой они были брошены; 3) место падения второго тела в воду.
Решение Выберем систему координат, как показано на рисунке.

Запишем законы движения для обоих тел:

первое тело

    \[\left\{ \begin{array}{c} 				x_1=v_{01}t \\  				y_1=h-\frac{gt^2}{2} \end{array} 				\right\]

второе тело

    \[\left\{ \begin{array}{c} 				x_2=v_{02}t \\  				y_2=h-\frac{gt^2}{2} \end{array} 				\right.\ \ \]

По условию задачи первое тело упало в воду на расстоянии L_1, поэтому продолжительность полета первого тела также, как и второго тела 9по условию они равны) можно найти из соотношения:

    \[L_1=v_{01}t\ \]

    \[t_p=\frac{L_1}{v_{01}}\]

    \[t_p=\frac{10}{5}=2\ c\]

В момент падения первого тела его y — координата равна нулю, поэтому:

    \[h-\frac{g{t_p}^2}{2}=0\]

откуда высота, с которой было брошено тело:

    \[h=\frac{g{t_p}^2}{2}\]

    \[h=\frac{9,8\cdot 2^2}{2}=20\ m\]

Дальность полета второго тела определим, положив в момент падения x — координату равной L_2:

    \[L_2=v_{02}t\]

    \[L_2=7,5\cdot 2=15\ m\]

Ответ Продолжительность полета тел составила 2 с; высота, с которой были брошены тела 20 м; второе тело упало в воду на расстоянии 15 м.