Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Умножение матрицы на вектор

Умножение матрицы на вектор производится по правилу «строка на столбец». При умножении матрицы на вектор-столбец число столбцов в матрице должно совпадать с числом строк в векторе-столбце. Результатом умножения матрицы на вектор-столбец есть вектор-столбец:

    \[A \cdot B =\left( \begin{matrix}    a_{11} & a_{12} & \ldots  & a_{1n}  \\    a_{21} & a_{22} & \ldots  & a_{2n}  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    a_{m1} & a_{m2} & \ldots  & a_{mn}  \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix}    b_{1}  \\    b_{2}  \\    \ldots   \\    b_{1n}  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    a_{11}\cdot b_{1}+a_{12}\cdot b_{2}+\ldots +a_{1n}\cdot b_{n}  \\    a_{21}\cdot b_{1}+a_{22}\cdot b_{2}+\ldots +a_{2n}\cdot b_{n}  \\    \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots   \\    a_{m1}\cdot b_{1}+a_{m2}\cdot b_{2}+\ldots +a_{mn}\cdot b_{n}  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    c_{1}  \\    c_{2}  \\    \ldots   \\    c_{1m}  \\ \end{matrix} \right)\]

При умножении матрицы на вектор-строку, умножаемая матрица может быть только вектором-столбцом, причем количество строк в векторе-столбце должно совпадать с количеством столбцов в векторе-строке. Результатом такого умножения будет квадратная матрица соответствующей размерности:

    \[ A \cdot B =\left( \begin{matrix}    a_{1}  \\    a_{2}  \\    \ldots   \\    a_{n}  \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( b_{1}\quad b_{2}\quad \ldots \quad b_{n} \right)=\left( \begin{matrix}    a_{1}\cdot b_{1}\quad a_{1}\cdot b_{2}\quad \ldots \quad a_{1}\cdot b_{n}  \\    a_{2}\cdot b_{1}\quad a_{2}\cdot b_{2}\quad \ldots \quad a_{2}\cdot b_{n}  \\    \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots \quad \ldots   \\    a_{n}\cdot b_{1}\quad a_{n}\cdot b_{2}\quad \ldots \quad a_{n}\cdot b_{n}  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    c_{11} & c_{12} & \ldots  & c_{1n}  \\    c_{21} & c_{22} & \ldots  & c_{2n}  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    c_{n1} & c_{n2} & \ldots  & c_{nn}  \\ \end{matrix} \right)\]

Примеры умножения матриц на вектора

ПРИМЕР 1
Задание Найти произведение матрицы A и вектора-столбца B, если

    \[A=\left( \begin{matrix}    2 & 4 & 0  \\    -2 & 1 & 3  \\    -1 & 0 & 1  \\ \end{matrix} \right),\text{ } B=\left( \begin{matrix}    1  \\    2  \\    -1  \\ \end{matrix} \right)\]

Решение По правилу умножения матриц, получим

    \[A\cdot B=\left( \begin{matrix}    2 & 4 & 0  \\    -2 & 1 & 3  \\    -1 & 0 & 1  \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix}    1  \\    2  \\    -1  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    2\cdot 1+4\cdot 2+0\cdot \left( -1 \right)  \\    -2\cdot 1+1\cdot 2+3\cdot \left( -1 \right)  \\    -1\cdot 1+0\cdot 2+1\cdot \left( -1 \right)  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    2+8+0  \\    -2+2-3  \\    -1+0-1  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    10  \\    -3  \\    -2  \\ \end{matrix} \right)\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти произведение вектора-столбца A на вектор-строку B .

    \[ A=\left( \begin{matrix}    3  \\    2  \\    0  \\    -1  \\ \end{matrix} \right) ,\text{ } B=\left( \begin{matrix}    -1 & 1 & 0 & 2  \\ \end{matrix} \right) \]

Решение Вектор-столбец и вектор-строка являются разновидностью матриц. Тогда по правилу умножения матриц, получим:

    \[A \cdot B =\left( \begin{matrix}    3  \\    2  \\    0  \\    1  \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix}    -1 & 1 & 0 & 2  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    3\cdot \left( -1 \right) & 3\cdot 1 & 3\cdot 0 & 3\cdot 2  \\    2\cdot \left( -1 \right) & 2\cdot 1 & 2\cdot 0 & 2\cdot 2  \\    0\cdot \left( -1 \right) & 0\cdot 1 & 0\cdot 0 & 0\cdot 2  \\    1\cdot \left( -1 \right) & 1\cdot 1 & 1\cdot 0 & 1\cdot 2  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix}    -3 & 3 & 0 & 6  \\    -2 & 2 & 0 & 4  \\    0 & 0 & 0 & 0  \\    -1 & 1 & 0 & 2  \\ \end{matrix} \right)\]

Ответ