Собственные векторы и собственные значения (числа) матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть задана квадратная матрица $A=\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nn} \\ \end{matrix} \right)$ . Ненулевой вектор $X=\left( \begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{matrix} \right)$ называется собственным вектором матрицы $A$ , если существует такое ненулевое число $\lambda$ , что $AX=\lambda X$ .

Число $\lambda$ при этом называется собственным значением вектора $X$ относительно матрицы $A$ .

Матрица $A-\lambda E$ называется характеристической матрицей матрицы $A$ , многочлен $\left| A-\lambda E \right|$ называется характеристическим многочленом матрицы $A$ , уравнение $\left| A-\lambda E \right|=0$ называется характеристическим уравнением матрицы $A$ .

ТЕОРЕМА

Собственными числами матрицы $A$ являются корни характеристического уравнения $\left| A-\lambda E \right|=0$ и только они.

Координаты собственного вектора $X$ соответствующего собственному значению $\lambda$ находятся из однородной системы уравнений

$\left\{ \begin{matrix} \left( a_{11}-\lambda \right)x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=0 \\ a_{21}x_{1}+\left( a_{22}-\lambda \right)x_{2}+\ldots +a_{2}x_{n}=0 \\ \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\ a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +\left( a_{nn}-\lambda \right)x_{n}=0 \\ \end{matrix} \right.$

Примеры нахождения собственных векторов и значений матрицы

ПРИМЕР 1

Задание

Найти собственные векторы и собственные значения матрицы

$A=\left( \begin{matrix} 4 & -5 & 7 \\ 1 & -4 & 9 \\ -4 & 0 & 5 \\ \end{matrix} \right)$

Решение

Составим характеристическое уравнение $\left| A-\lambda E \right|=0$

$\left| \begin{matrix} 4-\lambda & -5 & 7 \\ 1 & -4-\lambda & 9 \\ -4 & 0 & 5-\lambda \\ \end{matrix} \right|=0$

Раскроем полученный определитель по правилу треугольника:

$\left( 4-\lambda \right)\cdot \left( -4-\lambda \right)\cdot \left( 5-\lambda \right)+\left( -5 \right)\cdot 9\cdot \left( -4 \right)+1\cdot 0\cdot 7-\left( -4 \right)\cdot \left( -4-\lambda \right)\cdot 7-1\cdot \left( -5 \right)\left( 5-\lambda \right)-0\cdot \left( 4-\lambda \right)\cdot 9=0$

После раскрытия скобок и приведения подобных получим характеристический многочлен

${ \lambda ^{3}-5\cdot { \lambda ^{2}+17\lambda -13=0$

Раскладываем полученный многочлен на множители:

${ \lambda ^{3}-{ \lambda ^{2}-4\cdot { \lambda ^{2}+4\lambda +13\lambda -13=0$

$\left( \lambda -1 \right)\left( { \lambda ^{2}-4\lambda +13 \right)=0$

Тогда или $\lambda -1=0$ , или ${ \lambda ^{2}-4\lambda +13=0$ . Откуда $\lambda =1$ , а уравнение ${ \lambda ^{2}-4\lambda +13=0$ действительных решений не имеет, так как $D={\left( -4 \right)}^{2}-4\cdot 1\cdot 13=16-52=-36<0$ .

Таким образом, исходная матрица имеет одно действительное собственное значение $\lambda =1$ .

Для отыскания собственного вектора подставим найденное собственное значение $\lambda =1$ в систему уравнений

$\left\{ \begin{array}{rcl} \left( 4-\lambda \right)x_{1}+5x_{2}+7x_{3}=0 \\ x_{1}+\left( 4.+\lambda \right)x_{2}+9x_{3}=0 \\ -4x_{1}+\left( 5-\lambda \right)x_{3}=0 \\ \end{array} \right.$

получим

$\left\{ \begin{array}{rcl} 3x_{1}-5x_{2}+7x_{3}=0 \\ x_{1}-5x_{2}+9x_{3}=0 \\ -4x_{1}+4x_{3}=0 \\ \end{array} \right.$

Решим полученную однородную систему уравнений методом Гаусса. Выпишем основную матрицу этой системы

$\left( \begin{matrix} 3 & -5 & 7 \\ 1 & -5 & 9 \\ -4 & 0 & 4 \\ \end{matrix} \right)$

Преобразуем её с помощью элементарных преобразований. Умножим третью строку на $\left( \frac{1}{4} \right)$ :

$\left( \begin{matrix} 3 & -5 & 7 \\ 1 & -5 & 9 \\ -4 & 0 & 4 \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix} 3 & -5 & 7 \\ 1 & -5 & 9 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

Поменяем местами первую и третью строки:

$\left( \begin{matrix} 3 & -5 & 7 \\ 1 & -5 & 9 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -5 & 9 \\ 3 & -5 & 7 \\ \end{matrix} \right)$

Прибавим ко второй строке первую и к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на $3$ :

$\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & -5 & 9 \\ 3 & -5 & 7 \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & -5 & 10 \\ \end{matrix} \right)$

К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на $\left( -1 \right)$ :

$\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & -5 & 10 \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

Умножим вторую строку на $\left( -\frac{1}{5} \right)$ :

$\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & 10 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix} \right)$

Переходя обратно к системе, будем иметь:

$\left\{ \begin{matrix} -x_{1}+x_{3}=0 \\ x_{2}-2x_{3}=0 \\ \end{matrix} \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{matrix} x_{1}=x_{3} \\ x_{2}=2x_{3} \\ \end{matrix} \right.$

Полагая $x_{1}=1$ , получаем $x_{2}=2$ и $x_{3}=1$ .

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Собственные векторы и собственные значения (числа) матрицы

Примеры нахождения собственных векторов и значений матрицы