Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Собственные векторы и собственные значения (числа) матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Пусть задана квадратная матрица A=\left( \begin{matrix}    a_{11} & a_{12} & \ldots  & a_{1n}  \\    a_{21} & a_{22} & \ldots  & a_{2n}  \\    \ldots  & \ldots  & \ldots  & \ldots   \\    a_{n1} & a_{n2} & \ldots  & a_{nn}  \\ \end{matrix} \right). Ненулевой вектор X=\left( \begin{matrix}    x_{1}  \\    x_{2}  \\    \vdots   \\    x_{n}  \\ \end{matrix} \right) называется собственным вектором матрицы A, если существует такое ненулевое число \lambda, что AX=\lambda X.

Число \lambda при этом называется собственным значением вектора X относительно матрицы A.

Матрица A-\lambda E называется характеристической матрицей матрицы A, многочлен \left| A-\lambda E \right| называется характеристическим многочленом матрицы A, уравнение \left| A-\lambda E \right|=0 называется характеристическим уравнением матрицы A.

ТЕОРЕМА
Собственными числами матрицы A являются корни характеристического уравнения \left| A-\lambda E \right|=0 и только они.

Координаты собственного вектора X соответствующего собственному значению \lambda находятся из однородной системы уравнений

    \[\left\{ \begin{matrix}    \left( a_{11}-\lambda  \right)x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=0  \\    a_{21}x_{1}+\left( a_{22}-\lambda  \right)x_{2}+\ldots +a_{2}x_{n}=0  \\    \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots  \\    a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +\left( a_{nn}-\lambda  \right)x_{n}=0  \\ \end{matrix} \right.\]

Примеры нахождения собственных векторов и значений матрицы

ПРИМЕР 1
Задание Найти собственные векторы и собственные значения матрицы

    \[A=\left( \begin{matrix}    4 & -5 & 7  \\    1 & -4 & 9  \\    -4 & 0 & 5  \\ \end{matrix} \right)\]

Решение Составим характеристическое уравнение \left| A-\lambda E \right|=0

    \[\left| \begin{matrix}    4-\lambda  & -5 & 7  \\    1 & -4-\lambda  & 9  \\    -4 & 0 & 5-\lambda   \\ \end{matrix} \right|=0\]

Раскроем полученный определитель по правилу треугольника:

    \[\left( 4-\lambda  \right)\cdot \left( -4-\lambda  \right)\cdot \left( 5-\lambda  \right)+\left( -5 \right)\cdot 9\cdot \left( -4 \right)+1\cdot 0\cdot 7-\left( -4 \right)\cdot \left( -4-\lambda  \right)\cdot 7-1\cdot \left( -5 \right)\left( 5-\lambda  \right)-0\cdot \left( 4-\lambda  \right)\cdot 9=0\]

После раскрытия скобок и приведения подобных получим характеристический многочлен

    \[{ \lambda ^{3}-5\cdot { \lambda ^{2}+17\lambda -13=0\]

Раскладываем полученный многочлен на множители:

    \[{ \lambda ^{3}-{ \lambda ^{2}-4\cdot { \lambda ^{2}+4\lambda +13\lambda -13=0\]

    \[\left( \lambda -1 \right)\left( { \lambda ^{2}-4\lambda +13 \right)=0\]

Тогда или \lambda -1=0, или { \lambda ^{2}-4\lambda +13=0. Откуда \lambda =1, а уравнение { \lambda ^{2}-4\lambda +13=0 действительных решений не имеет, так как D={\left( -4 \right)}^{2}-4\cdot 1\cdot 13=16-52=-36<0.

Таким образом, исходная матрица имеет одно действительное собственное значение \lambda =1.

Для отыскания собственного вектора подставим найденное собственное значение \lambda =1 в систему уравнений

    \[\left\{ \begin{array}{rcl}    \left( 4-\lambda  \right)x_{1}+5x_{2}+7x_{3}=0  \\    x_{1}+\left( 4.+\lambda  \right)x_{2}+9x_{3}=0  \\    -4x_{1}+\left( 5-\lambda  \right)x_{3}=0  \\ \end{array} \right.\]

получим

    \[\left\{ \begin{array}{rcl}    3x_{1}-5x_{2}+7x_{3}=0  \\    x_{1}-5x_{2}+9x_{3}=0  \\    -4x_{1}+4x_{3}=0  \\ \end{array} \right.\]

Решим полученную однородную систему уравнений методом Гаусса. Выпишем основную матрицу этой системы

    \[\left( \begin{matrix}    3 & -5 & 7  \\    1 & -5 & 9  \\    -4 & 0 & 4  \\ \end{matrix} \right)\]

Преобразуем её с помощью элементарных преобразований. Умножим третью строку на \left( \frac{1}{4} \right):

    \[\left( \begin{matrix}    3 & -5 & 7  \\    1 & -5 & 9  \\    -4 & 0 & 4  \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix}    3 & -5 & 7  \\    1 & -5 & 9  \\    -1 & 0 & 1  \\ \end{matrix} \right)\]

Поменяем местами первую и третью строки:

    \[\left( \begin{matrix}    3 & -5 & 7  \\    1 & -5 & 9  \\    -1 & 0 & 1  \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix}    -1 & 0 & 1  \\    1 & -5 & 9  \\    3 & -5 & 7  \\ \end{matrix} \right)\]

Прибавим ко второй строке первую и к третьей строке прибавим первую строку, умноженную на 3:

    \[\left( \begin{matrix}    -1 & 0 & 1  \\    1 & -5 & 9  \\    3 & -5 & 7  \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix}    -1 & 0 & 1  \\    0 & -5 & 10  \\    0 & -5 & 10  \\ \end{matrix} \right)\]

К третьей строке прибавим первую строку, умноженную на \left( -1 \right):

    \[\left( \begin{matrix}    -1 & 0 & 1  \\    0 & -5 & 10  \\    0 & -5 & 10  \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix}    -1 & 0 & 1  \\    0 & -5 & 10  \\    0 & 0 & 0  \\ \end{matrix} \right)\]

Умножим вторую строку на \left( -\frac{1}{5} \right):

    \[\left( \begin{matrix}    -1 & 0 & 1  \\    0 & -5 & 10  \\    0 & 0 & 0  \\ \end{matrix} \right)\sim\left( \begin{matrix}    -1 & 0 & 1  \\    0 & 1 & -2  \\    0 & 0 & 0  \\ \end{matrix} \right)\]

Переходя обратно к системе, будем иметь:

    \[\left\{ \begin{matrix}    -x_{1}+x_{3}=0  \\    x_{2}-2x_{3}=0  \\ \end{matrix} \right.\quad \Rightarrow \quad \left\{ \begin{matrix}    x_{1}=x_{3}  \\    x_{2}=2x_{3}  \\ \end{matrix} \right.\]

Полагая x_{1}=1, получаем x_{2}=2 и x_{3}=1.

Ответ