Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Возведение матрицы в степень

Для возведения матрицы в степень n, необходимо умножить матрицу A саму на себя n раз:

    \[A^{n}=\underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{n\ \text{}\]

При этом необходимо помнить, что в степень можно возвести только квадратную матрицу и показатель степени должен быть натуральным числом.

Для степеней матрицы справедливо следующее свойство

    \[A^{m}\cdot A^{k}=A^{m+k}\]

Примеры возведения матрицы в степень

ПРИМЕР 1
Задание Найти A^{4} для матрицы

    \[A=\left( \begin{matrix}    1 & 0 & 2  \\    4 & -2 & 3  \\    0 & 1 & -1  \\ \end{matrix} \right)\]

Решение Найдем сначала A^{2}, для этого умножим матрицу A саму на себя. По правилу умножения матриц, получим:

    \[\begin{matrix}   A^{2}=A\cdot A=\left( \begin{matrix}    1 & 0 & 2  \\    4 & -2 & 3  \\    0 & 1 & -1  \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix}    1 & 0 & 2  \\    4 & -2 & 3  \\    0 & 1 & -1  \\ \end{matrix} \right)= \\    =\left( \begin{matrix}    1\cdot 1+0\cdot 4+2\cdot 0 & 1\cdot 0+0\cdot \left( -2 \right)+2\cdot 1 & 1\cdot 2+0\cdot 3+2\cdot \left( -1 \right)  \\    4\cdot 1+\left( -2 \right)\cdot 4+3\cdot 0 & 4\cdot 0+\left( -2 \right)\cdot \left( -2 \right)+3\cdot 1 & 4\cdot 2+\left( -2 \right)\cdot 3+3\cdot \left( -1 \right)  \\    0\cdot 1+1\cdot 4+\left( -1 \right)\cdot 0 & 0\cdot 0+1\cdot \left( -2 \right)+\left( -1 \right)\cdot 1 & 0\cdot 2+1\cdot 3+\left( -1 \right)\cdot \left( -1 \right)  \\ \end{matrix} \right)= \\    =\left( \begin{matrix}    1 & 2 & 0  \\    -4 & 7 & -1  \\    4 & -3 & 4  \\ \end{matrix} \right). \\  \end{matrix}\]

Далее по свойству степеней A^{4}=A^{2}\cdot A^{2}, то есть

    \[\begin{matrix}   A^{4}=A^{2}\cdot A^{2}=\left( \begin{matrix}    1 & 2 & 0  \\    -4 & 7 & -1  \\    4 & -3 & 4  \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix}    1 & 2 & 0  \\    -4 & 7 & -1  \\    4 & -3 & 4  \\ \end{matrix} \right)    =\left( \begin{matrix}    -7 & 16 & -2  \\    -36 & 44 & -11  \\    32 & -25 & 19  \\ \end{matrix} \right) \\  \end{matrix}\]

Ответ