Возведение матрицы в степень

Для возведения матрицы в степень $n$ , необходимо умножить матрицу $A$ саму на себя $n$ раз:

$A^{n}=\underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{n\ \text{}$

При этом необходимо помнить, что в степень можно возвести только квадратную матрицу и показатель степени должен быть натуральным числом.

Для степеней матрицы справедливо следующее свойство

$A^{m}\cdot A^{k}=A^{m+k}$

Примеры возведения матрицы в степень

ПРИМЕР 1

Задание

Найти $A^{4}$ для матрицы

$A=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{matrix} \right)$

Решение

Найдем сначала $A^{2}$ , для этого умножим матрицу $A$ саму на себя. По правилу умножения матриц, получим:

$\begin{matrix} A^{2}=A\cdot A=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 4 & -2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ \end{matrix} \right)= \\ =\left( \begin{matrix} 1\cdot 1+0\cdot 4+2\cdot 0 & 1\cdot 0+0\cdot \left( -2 \right)+2\cdot 1 & 1\cdot 2+0\cdot 3+2\cdot \left( -1 \right) \\ 4\cdot 1+\left( -2 \right)\cdot 4+3\cdot 0 & 4\cdot 0+\left( -2 \right)\cdot \left( -2 \right)+3\cdot 1 & 4\cdot 2+\left( -2 \right)\cdot 3+3\cdot \left( -1 \right) \\ 0\cdot 1+1\cdot 4+\left( -1 \right)\cdot 0 & 0\cdot 0+1\cdot \left( -2 \right)+\left( -1 \right)\cdot 1 & 0\cdot 2+1\cdot 3+\left( -1 \right)\cdot \left( -1 \right) \\ \end{matrix} \right)= \\ =\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ -4 & 7 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ \end{matrix} \right). \\ \end{matrix}$

Далее по свойству степеней $A^{4}=A^{2}\cdot A^{2}$ , то есть

$\begin{matrix} A^{4}=A^{2}\cdot A^{2}=\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ -4 & 7 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ \end{matrix} \right)\cdot \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ -4 & 7 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} -7 & 16 & -2 \\ -36 & 44 & -11 \\ 32 & -25 & 19 \\ \end{matrix} \right) \\ \end{matrix}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Возведение матрицы в степень

Примеры возведения матрицы в степень