Примеры решения логарифмических неравенств

Теория по логарифмическим неравенствам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Неравенства, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании, называются логарифмическими.

Решение логарифмических неравенств основывается на свойстве монотонности логарифмической функции: функция $y = \log _{a} x$ монотонно возрастает, если $a>1$ , и монотонно убывает, если $0< a <1$ . При этом учитывается, что подлогарифмическое выражение может принимать только положительные значения. Таким образом, для неравенства вида

$\log _{a} f(x) > \log _{a} g(x)$

при потенцировании, для значений $a>1$ знак неравенства сохраняется; а для значений $0< a <1$ , меняется на противоположный.

В случае если переменная содержится и в основании, и в подлогарифмическом выражении, например $\log _{\varphi (x)} f(x) > \log _{\varphi (x)} g(x)$ , решение разбивается два случая, когда $\varphi (x)>1$ и, когда $0< \varphi (x) <1$ , то есть

$\log _{\varphi (x)} f(x) > \log _{\varphi (x)} g(x) = \left[ \begin{gathered} \begin{cases} \varphi (x)>1 \\ 0<g(x)<f(x) \end{cases} \\ \begin{cases} 0< \varphi (x) <1 \\ 0<f(x)<g(x) \end{cases} \end{gathered} \right$

Так же некоторые логарифмические неравенства можно решить методом замены переменной.

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Решить неравенство $\log _{\frac{1}{4}} (3x-8) < -2$

Решение

ОДЗ:

$3x-8>0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x > 2 \frac{2}{3}$

Умножим правую часть на $1 = \log _{\frac{1}{4}} \frac{1}{4}$ , получим:

$\log _{\frac{1}{4}} (3x-8) < -2 \cdot \log _{\frac{1}{4}} \frac{1}{4}$

По свойствам логарифмов, внесем коэффициент –2 как степень подлогарифмического выражения:

$\log _{\frac{1}{4}} (3x-8) < \log _{\frac{1}{4}} \left( \frac{1}{4} \right)^{-2}$

$\log _{\frac{1}{4}} (3x-8) < \log _{\frac{1}{4}} 16$

Далее переходим к подлогарифмическим выражением и, так как основание логарифма $0< \frac{1}{4} <1$ , то знак неравенства изменится на противоположный:

$3x-8 > 16$

$3x > 24$

$x>8$

Полученный интервал полностью принадлежит области допустимых значений, поэтому он и является решением заданного неравенства.

Ответ

$x \in (8; \infty)$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить неравенство $\log _{2} (12-4x)>4$

Решение

ОДЗ:

$12-4x>0 \text{ } \Rightarrow \text{ } 4x<12 \text{ } \Rightarrow \text{ } x<3$

Умножая правую часть на $1=\log _{2} 2$ , получим:

$\log _{2} (12-4x)>4 \cdot \log _{2} 2$

По свойствам логарифмов, коэффициент 4 можно внести под знак логарифма как степень подлогарифмического выражения:

$\log _{2} (12-4x)>\log _{2} 2^{4}$

$\log _{2} (12-4x)>\log _{2} 16$

Далее потенцируем по основанию 2 и, так как основание логарифма $2>1$ , то знак неравенства не изменится:

$12-4x > 16$

$4x<12-16$

$4x<-4$

$x<-1$

Данный интервал попадает в область допустимых значений, поэтому является решением.

Ответ

$x \in (-\infty: -1)$

ПРИМЕР 3

Задание

Решить неравенство $\log _{\frac{1}{2}} \log _{3} (x+1) \geq 0$

Решение

Определим область допустимых значений:

$\begin{cases} \log _{3} (x+1) > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log _{3} (x+1) > \log _{3} 1 \\ x> -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+1>1 \\ x> -1 \end{cases} \Rightarrow$

$\Rightarrow \begin{cases} x>0 \\ x> -1 \end{cases} \text{ } \Rightarrow \text{ } x>0$

Представим правую часть неравенства как $0=\log _{\frac{1}{2}} 1$

$\log _{\frac{1}{2}} \log _{3} (x+1) \geq \log _{\frac{1}{2}} 1$

После потенцирования по основанию $\frac{1}{2}$ , учитывая, что $0< \frac{1}{2} <1$ и то, что подлогарифмическое выражение должно быть положительным, получим:

$0 < \log _{3} (x+1) \leq 1$

Заменим в последнем неравенстве $0=\log _{3} 1$ и $1=\log _{3} 3$ ,

$\log _{3} 1 < \log _{3} (x+1) \leq \log _{3} 3$

и пропотенцируем его по основанию 3, так $3>1$ знаки неравенств не изменятся:

$1 < x+1 \leq 3$

Вычтем из всех частей неравенства 1, получим

$1-1 < x+1-1 \leq 3-1 \text{ } \Rightarrow \text{ } 0 < x \leq 2$

Полученный промежуток $(0; 2]$ полностью принадлежит ОДЗ, поэтому является решением данного неравенства.

Ответ

$x \in (0; 2]$

ПРИМЕР 4

Задание

Решить неравенство $\lg ^{2}x - \lg x -2 \leq 0$

Решение

ОДЗ: $x>0$

Это логарифмическое неравенство решается методом замены переменной. Введем замену , тогда неравенство примет вид:

$t^{2}-t-2 \leq 0$

Для решения этого неравенства, сначала найдем корни уравнения $t^{2}-t-2=0$ :

$D = (-1)^{2} -4 \cdot 1 \cdot (-2) \text{ } \Rightarrow \text{ } D = 9 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sqrt{D}=3$

$t_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } t_{1}=2 \text{ };\text{ } t_{2}=-1$

Сделаем обратную замену: если $\lg x =t_{1} \text{ } \Rightarrow \text{ } \lg x = 2 \text{ } \Rightarrow \text{ } x = 10^{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x=100;$ если $\lg x =t_{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } \lg x = -1 \text{ } \Rightarrow \text{ } x = 10^{-1} \text{ } \Rightarrow \text{ } x=0,1$ . Отметим полученные корни на числовой оси и определим знаки исходного неравенства $\lg ^{2}x - \lg x -2 \leq 0$ на каждом из промежутков:

И, так как нас интересуют только те значения $x$ , при которых данное неравенство принимает неположительные значения (знак неравенства $\leq$ ), то получаем, что $x \in [0,1 ; 100]$ . Полученный интервал полностью принадлежит ОДЗ, поэтому он является решением данного неравенства

Ответ

$x \in [0,1 ; 100]$

ПРИМЕР 5

Задание

Найти решение неравенства $\log _{x} (3x-1)>0$

Решение

Данное неравенство содержит переменную и под знаком логарифма и в основании. Представим правую часть неравенства как $0 = \log _{x} 1$ , получим:

$\log _{x} (3x-1)>\log _{x} 1$

Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем

$\left[ \begin{gathered} \begin{cases} 0<x<1 \\ 3x-1<1 \\ 3x-1>0 \end{cases} \\ \begin{cases} x>1 \\ 3x-1>1 \end{cases} \end{gathered} \right \text{ } \Rightarrow \text{ } \left[ \begin{gathered} \begin{cases} 0<x<1 \\ 3x<2 \\ 3x>1 \end{cases} \\ \begin{cases} x>1 \\ 3x>2 \end{cases} \hfill \end{gathered} \right \text{ } \Rightarrow \text{ } \left[ \begin{gathered} \begin{cases} 0<x<1 \\ x<\frac{2}{3} \\ x>\frac{1}{3} \end{cases} \\ \begin{cases} x>1 \\ x>\frac{2}{3} \end{cases} \hfill \end{gathered} \right \text{ } \Rightarrow \text{ } \left[ \begin{gathered} \frac{1}{3}<x<\frac{2}{3} \\ x>\frac{2}{3} \end{cases} \end{gathered} \right$

Решение получим, объединяя эти два промежутка:

$x \in \left( \frac{1}{3};\frac{2}{3} \right) \cup \left( \frac{2}{3}; + \infty\right)$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения логарифмических неравенств

Теория по логарифмическим неравенствам

Примеры