Примеры решения логарифмических неравенств
Теория по логарифмическим неравенствам
Решение логарифмических неравенств основывается на свойстве монотонности логарифмической функции: функция монотонно возрастает, если
, и монотонно убывает, если
. При этом учитывается, что подлогарифмическое выражение может принимать только положительные значения. Таким образом, для неравенства вида
при потенцировании, для значений знак неравенства сохраняется; а для значений
, меняется на противоположный.
В случае если переменная содержится и в основании, и в подлогарифмическом выражении, например , решение разбивается два случая, когда
и, когда
, то есть
Так же некоторые логарифмические неравенства можно решить методом замены переменной.
Примеры
Задание | Решить неравенство ![]() |
Решение | ОДЗ:
Умножим правую часть на По свойствам логарифмов, внесем коэффициент –2 как степень подлогарифмического выражения: Далее переходим к подлогарифмическим выражением и, так как основание логарифма Полученный интервал полностью принадлежит области допустимых значений, поэтому он и является решением заданного неравенства. |
Ответ | ![]() |
Задание | Решить неравенство ![]() |
Решение | ОДЗ:
Умножая правую часть на По свойствам логарифмов, коэффициент 4 можно внести под знак логарифма как степень подлогарифмического выражения: Далее потенцируем по основанию 2 и, так как основание логарифма Данный интервал попадает в область допустимых значений, поэтому является решением. |
Ответ | ![]() |
Задание | Решить неравенство ![]() |
Решение | Определим область допустимых значений:
Представим правую часть неравенства как После потенцирования по основанию Заменим в последнем неравенстве и пропотенцируем его по основанию 3, так Вычтем из всех частей неравенства 1, получим Полученный промежуток |
Ответ | ![]() |
Задание | Решить неравенство ![]() |
Решение | ОДЗ: ![]() Это логарифмическое неравенство решается методом замены переменной. Введем замену , тогда неравенство примет вид: Для решения этого неравенства, сначала найдем корни уравнения Сделаем обратную замену: если ![]() И, так как нас интересуют только те значения |
Ответ | ![]() |
Задание | Найти решение неравенства ![]() |
Решение | Данное неравенство содержит переменную и под знаком логарифма и в основании. Представим правую часть неравенства как ![]() Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем Решение получим, объединяя эти два промежутка: |
Ответ | ![]() |
