Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения логарифмических неравенств

Теория по логарифмическим неравенствам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Неравенства, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании, называются логарифмическими.

Решение логарифмических неравенств основывается на свойстве монотонности логарифмической функции: функция y = \log _{a} x монотонно возрастает, если a>1 , и монотонно убывает, если 0< a <1 . При этом учитывается, что подлогарифмическое выражение может принимать только положительные значения. Таким образом, для неравенства вида

    \[    \log _{a} f(x) > \log _{a} g(x) \]

при потенцировании, для значений a>1 знак неравенства сохраняется; а для значений 0< a <1 , меняется на противоположный.

В случае если переменная содержится и в основании, и в подлогарифмическом выражении, например \log _{\varphi (x)} f(x) > \log _{\varphi (x)} g(x) , решение разбивается два случая, когда \varphi (x)>1 и, когда 0< \varphi (x) <1 , то есть

    \[    \log _{\varphi (x)} f(x) > \log _{\varphi (x)} g(x) =  \left[  \begin{gathered} \begin{cases} \varphi (x)>1 \\ 0<g(x)<f(x) \end{cases} \\ \begin{cases} 0< \varphi (x) <1 \\ 0<f(x)<g(x) \end{cases} \end{gathered} \right  \]

Так же некоторые логарифмические неравенства можно решить методом замены переменной.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Решить неравенство \log _{\frac{1}{4}} (3x-8) < -2
Решение ОДЗ:

    \[    3x-8>0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x > 2 \frac{2}{3} \]

Умножим правую часть на 1 = \log _{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} , получим:

    \[    \log _{\frac{1}{4}} (3x-8) < -2 \cdot \log _{\frac{1}{4}} \frac{1}{4} \]

По свойствам логарифмов, внесем коэффициент –2 как степень подлогарифмического выражения:

    \[    \log _{\frac{1}{4}} (3x-8) < \log _{\frac{1}{4}} \left( \frac{1}{4} \right)^{-2} \]

    \[    \log _{\frac{1}{4}} (3x-8) < \log _{\frac{1}{4}} 16 \]

Далее переходим к подлогарифмическим выражением и, так как основание логарифма 0< \frac{1}{4} <1 , то знак неравенства изменится на противоположный:

    \[    3x-8 > 16 \]

    \[    3x > 24 \]

    \[    x>8 \]

Полученный интервал полностью принадлежит области допустимых значений, поэтому он и является решением заданного неравенства.

Ответ x \in (8; \infty)
ПРИМЕР 2
Задание Решить неравенство \log _{2} (12-4x)>4
Решение ОДЗ:

    \[    12-4x>0 \text{ } \Rightarrow \text{ } 4x<12 \text{ } \Rightarrow \text{ } x<3 \]

Умножая правую часть на 1=\log _{2} 2 , получим:

    \[    \log _{2} (12-4x)>4 \cdot \log _{2} 2 \]

По свойствам логарифмов, коэффициент 4 можно внести под знак логарифма как степень подлогарифмического выражения:

    \[    \log _{2} (12-4x)>\log _{2} 2^{4} \]

    \[    \log _{2} (12-4x)>\log _{2} 16 \]

Далее потенцируем по основанию 2 и, так как основание логарифма 2>1 , то знак неравенства не изменится:

    \[    12-4x > 16 \]

    \[    4x<12-16 \]

    \[    4x<-4 \]

    \[    x<-1 \]

Данный интервал попадает в область допустимых значений, поэтому является решением.

Ответ x \in (-\infty: -1)
ПРИМЕР 3
Задание Решить неравенство \log _{\frac{1}{2}} \log _{3} (x+1) \geq 0
Решение Определим область допустимых значений:

    \[ \begin{cases} \log _{3} (x+1) > 0 \\ x+1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \log _{3} (x+1) > \log _{3} 1 \\ x> -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+1>1 \\ x> -1 \end{cases} \Rightarrow \]

    \[ \Rightarrow \begin{cases} x>0 \\ x> -1 \end{cases} \text{ } \Rightarrow \text{ } x>0 \]

Представим правую часть неравенства как 0=\log _{\frac{1}{2}} 1

    \[    \log _{\frac{1}{2}} \log _{3} (x+1) \geq \log _{\frac{1}{2}} 1 \]

После потенцирования по основанию \frac{1}{2} , учитывая, что 0< \frac{1}{2} <1 и то, что подлогарифмическое выражение должно быть положительным, получим:

    \[    0 < \log _{3} (x+1) \leq 1 \]

Заменим в последнем неравенстве 0=\log _{3} 1 и 1=\log _{3} 3 ,

    \[    \log _{3} 1 < \log _{3} (x+1) \leq \log _{3} 3 \]

и пропотенцируем его по основанию 3, так 3>1 знаки неравенств не изменятся:

    \[    1 < x+1 \leq 3 \]

Вычтем из всех частей неравенства 1, получим

    \[    1-1 < x+1-1 \leq 3-1 \text{ } \Rightarrow \text{ } 0 < x \leq 2 \]

Полученный промежуток (0; 2] полностью принадлежит ОДЗ, поэтому является решением данного неравенства.

Ответ x \in (0; 2]
ПРИМЕР 4
Задание Решить неравенство \lg ^{2}x - \lg x -2 \leq 0
Решение ОДЗ: x>0

Это логарифмическое неравенство решается методом замены переменной. Введем замену , тогда неравенство примет вид:

    \[    t^{2}-t-2 \leq 0 \]

Для решения этого неравенства, сначала найдем корни уравнения t^{2}-t-2=0 :

    \[    D = (-1)^{2} -4 \cdot 1 \cdot (-2) \text{ } \Rightarrow \text{ } D = 9 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sqrt{D}=3 \]

    \[    t_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } t_{1}=2 \text{ };\text{ } t_{2}=-1 \]

Сделаем обратную замену: если \lg x =t_{1} \text{ } \Rightarrow \text{ } \lg x = 2 \text{ } \Rightarrow \text{ } x = 10^{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x=100; если \lg x =t_{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } \lg x = -1 \text{ } \Rightarrow \text{ } x = 10^{-1} \text{ } \Rightarrow \text{ } x=0,1. Отметим полученные корни на числовой оси и определим знаки исходного неравенства \lg ^{2}x - \lg x -2 \leq 0 на каждом из промежутков:

И, так как нас интересуют только те значения x , при которых данное неравенство принимает неположительные значения (знак неравенства \leq ), то получаем, что x \in [0,1 ; 100] . Полученный интервал полностью принадлежит ОДЗ, поэтому он является решением данного неравенства

Ответ x \in [0,1 ; 100]
ПРИМЕР 5
Задание Найти решение неравенства \log _{x} (3x-1)>0
Решение Данное неравенство содержит переменную и под знаком логарифма и в основании. Представим правую часть неравенства как 0 = \log _{x} 1 , получим:

    \[    \log _{x} (3x-1)>\log _{x} 1 \]

Последнее неравенство равносильно совокупности двух систем

    \[ \left[  \begin{gathered} \begin{cases} 0<x<1 \\ 3x-1<1 \\ 3x-1>0 \end{cases} \\ \begin{cases} x>1 \\ 3x-1>1 \end{cases} \end{gathered} \right  \text{ } \Rightarrow \text{ } \left[  \begin{gathered} \begin{cases} 0<x<1 \\ 3x<2 \\ 3x>1 \end{cases}  \\ \begin{cases} x>1 \\ 3x>2 \end{cases} \hfill \end{gathered} \right  \text{ } \Rightarrow \text{ } \left[  \begin{gathered} \begin{cases} 0<x<1 \\ x<\frac{2}{3} \\ x>\frac{1}{3} \end{cases} \\ \begin{cases} x>1 \\ x>\frac{2}{3} \end{cases} \hfill \end{gathered} \right  \text{ } \Rightarrow \text{ } \left[  \begin{gathered} \frac{1}{3}<x<\frac{2}{3} \\ x>\frac{2}{3} \end{cases} \end{gathered} \right  \]

Решение получим, объединяя эти два промежутка:

    \[    x \in \left( \frac{1}{3};\frac{2}{3} \right) \cup \left( \frac{2}{3}; + \infty\right) \]

Ответ