Метод рационализации при решении неравенств

При решении сложных неравенств часто применяют метод рационализации, т.е. приведение неравенства к более простому виду, а именно, к рациональному неравенству. Это позволяет использовать для его решения метод интервалов. Этот метод применяют к решению логарифмических, показательных и иррациональных неравенств.

Метод рационализации заключается в том, что если некоторая функция $f(x)$ монотонно возрастает, а точки $x=a$ и $x=b$ принадлежат области определения функции, то разность $f(a)-f(b)$ совпадает по знаку с разностью $a-b$ .

Например, неравенство $f(x)-f(c)<0$ можно заменить на равносильное ему $x-c<0$ . Решая упрощенное неравенство необходимо учитывать ОДЗ функций, входящих в исходное неравенство.

Примеры решения неравенств методом рационализации

ПРИМЕР 1

Задание

Решить неравенство

$\frac{x^{2} -3x-4}{(4^{x} -4)(3^{x^{2} } -81)} \le 0$

Решение

Показательные функции $y=4^{x}$ и $y=3^{x^{2} }$ имеют основание больше единицы, а, значит, являются возрастающими. Следовательно, можно применить метод рационализации, заменив скобки в знаменателе неравенства на более простые:

$\frac{x^{2} -3x-4}{(4^{x} -4^{1} )(3^{x^{2} } -3^{4} )} \le 0\ \Rightarrow \ \frac{x^{2} -3x-4}{(x-1)(x^{2} -4)} \le 0\ \Rightarrow \ \frac{(x-4)(x+1)}{(x-1)(x-2)(x+2)} \le 0$

Получили дробно-рациональное неравенство, которое решим методом интервалов

Выбирает интервалы со знаком «минус»: $x\in (-\infty ;-2)\bigcup [-1;1)\bigcup (2;4]$

Ответ

$x\in (-\infty ;-2)\bigcup [-1;1)\bigcup (2;4]$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить логарифмическое неравенство методом рационализации $\log _{x+1} (x^{2} -5)>1$

Решение

В заданном неравенстве перейдем к новому основанию логарифма, например к десятичному логарифму

$\frac{\lg (x^{2} -5)}{\lg (x+1)} >1$

Перенесем единицу в левую часть и приведем к общему знаменателю

$\frac{\lg (x^{2} -5)}{\lg (x+1)} -1>0\ \Rightarrow \ \frac{\lg (x^{2} -5)-\lg (x+1)}{\lg (x+1)} >0$

Поскольку $\lg 1=0$ , то в знаменателе можно отнять $\lg 1$ не изменив неравенства:

$\frac{\lg (x^{2} -5)-\lg (x+1)}{\lg (x+1)-\lg 1} >0$

Логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому можно применить метод рационализации и заменить полученное неравенство равносильным

$\frac{(x^{2} -5)-(x+1)}{(x+1)-1} >0\ \Rightarrow \ \frac{x^{2} -x-6}{x} >0$

С учетом ОДЗ исходного неравенства получим систему неравенств

$\left\{\begin{array}{l} {\frac{x^{2} -x-6}{x} >0,} \\ {x^{2} -5>0,} \\ {\begin{array}{l} {x+1>0,} \\ {x+1\ne 1} \end{array}} \end{array}\ \Rightarrow \ \right. \left\{\begin{array}{l} {\frac{(x-3)(x+2)}{x} >0,} \\ {(x-\sqrt{5} )(x+\sqrt{5} )>0,} \\ {\begin{array}{l} {x>-1,} \\ {x\ne 0} \end{array}} \end{array}\ \Rightarrow \ \left\{\begin{array}{l} {\frac{(x-3)(x+2)}{x} >0,} \\ {x\in (\sqrt{5} ;+\infty )} \end{array}\right. \right.$

Первое неравенство решим методом интервалов

Итак, решением данного неравенства будет интервал $(3;+\infty )$

Ответ

$x\in (3;+\infty )$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Метод рационализации при решении неравенств

Примеры решения неравенств методом рационализации