Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения логарифмических уравнений

Теория про логарифмические уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Уравнения, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании, называются логарифмическими.

Простейшие логарифмических уравнений:

  1. \log _{a} x = b \text{ } \Leftrightarrow \text{ } x=a^{b} \text{ },\text{ } x>0 \text{ },\text{ } a>0 \text{ },\text{ } a \neq 1
  2. \log _{a} f(x) = b \text{ } \Leftrightarrow \text{ } f(x)=a^{b} \text{ },\text{ } f(x)>0 \text{ },\text{ } a>0 \text{ },\text{ } a \neq 1
  3. \log _{a} f(x) = g(x) \text{ } \Leftrightarrow \text{ } f(x)=a^{g(x)} \text{ },\text{ } f(x)>0 \text{ },\text{ } a>0 \text{ },\text{ } a \neq 1
  4. Уравнение \log _{a} f(x) = \log _{a} g(x) равносильно системе \begin{cases} f(x) = g(x)\\ f(x) > 0 \end{cases} или \begin{cases} f(x) = g(x)\\ g(x) > 0 \end{cases}, где a>0 \text{ },\text{ } a \neq 1.
  5. Уравнение \log _{\varphi (x)} f(x) = \log _{\varphi (x)} g(x) равносильно системе \begin{cases} f(x) = g(x)\\ f(x) > 0 \\ \varphi (x) > 0 \\ \varphi (x) \neq 1 \end{cases} или системе \begin{cases} f(x) = g(x)\\ g(x) > 0 \\ \varphi (x) > 0 \\ \varphi (x) \neq 1 \end{cases} .

Так же при решении логарифмических выражений применяется метод потенцирования – переход от уравнения с логарифмами к уравнениям, которые их не содержат; и метод замены переменной.

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Решить уравнение \log _{0,1} x = 3
Решение ОДЗ: x>0 .

Это уравнение первого вида \log _{a} x = b \text{ } \Leftrightarrow \text{ } x=a^{b} \text{ },\text{ } a>0 \text{ },\text{ } a \neq 1. Для нахождения решения, возведем основание логарифма в степень равную 3 (правая часть уравнения), получим:

    \[    x = (0,1)^{3} \text{ } \Rightarrow \text{ } x = 0,001 \]

Полученное решение принадлежит ОДЗ, поэтому x=0,001 – решение исходного уравнения.

Ответ x=0,001
ПРИМЕР 2
Задание Решить уравнение \lg (10-x)=4
Решение Определим область допустимых значений (ОДЗ):

    \[    10-x>0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x<10 \text{ } \Rightarrow \text{ } x \in (-\infty, 10) \]

Имеем логарифмическое уравнение вида \log _{a} f(x) = b, решение которого f(x)=a^{b}. В нашем случае рассматривается десятичный логарифм, то есть его основание равно 10, тогда:

    \[    10-x=10^{4} \]

    \[    10-x=10000 \]

    \[    x=10-1000 \]

    \[    x=-9990 \]

Полученное значение x принадлежит ОДЗ, поэтому x=-9990 является решением исходного уравнения.

Ответ x=-9990
ПРИМЕР 3
Задание Решить уравнение \log _{4} (2 \cdot 4^{x-2}-1)=2x-4
Решение Найдем ОДЗ:

    \[    2 \cdot 4^{x-2}-1>0 \]

    \[    4^{x-2}>\frac{1}{2} \]

    \[    2^{2(x-2)}>2^{-1} \]

    \[    2x-4>-1 \]

    \[    2x>3 \]

    \[    x > \frac{3}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x \in \left( \frac{3}{2}; +\infty \right) \]

Решение логарифмического уравнения \log _{a} f(x) = g(x) имеет вид f(x)=a^{g(x)} . Применяя это к исходному уравнению, получим

    \[    2 \cdot 4^{x-2}-1=4^{2x-4} \]

    \[    2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{-2} -1=4^{2x} \cdot 4^{-4} \]

Умножим левую и правую части последнего равенства на 4^{4}, получим:

    \[    ( 2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{-2} -1) \cdot 4^{4} =4^{2x} \cdot 4^{-4} \cdot 4^{4} \]

    \[    2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{2} - 4^{4} =4^{2x} \]

    \[    4^{2x} - 32 \cdot 4^{x} + 256=0 \]

Полученное показательное уравнение решим методом замены переменной. Введем замену t=4^{x}>0, тогда уравнение примет вид:

    \[    t^{2}-32t+256=0 \]

Полученное квадратное уравнение можно свернуть по формулам сокращенного умножения в квадрат разности:

    \[    (t-16)^{2} = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } t-16=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } t = 16 \]

Сделаем обратную замену 4^{x}=16 \text{ } \Rightarrow \text{ } 4^{x} = 4^{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x=2 \in ОДЗ.

Ответ x=2
ПРИМЕР 4
Задание Решить уравнение \log _{0,7} (x^{2}-4x-5) = \log _{0,7} (5-x)
Решение Данное уравнение равносильно системе

    \[ \begin{cases} x^{2}-4x-5 = 5-x \\ 5-x > 0 \end{cases} \]

которую можно преобразовать следующим образом:

    \[ \begin{cases} x^{2}-3x-10=0 \\ x<5 \end{cases} \]

Решим отдельно полученное квадратное уравнение.

    \[    D = (-3)^{2} -4 \cdot 1 \cdot (-10) \text{ } \Rightarrow \text{ } D=49 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sqrt{D}=\sqrt{49} =7 \]

    \[    x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=5 \text{ } ; \text{ } x_{2}=-2 \]

Корень x_{1}=5, не подходит, так как не удовлетворяет неравенству x<5. Таким образом, решением данного уравнения является  x=-2 .

Ответ  x=-2
ПРИМЕР 5
Задание Решить уравнение \log _{3x} (x^{2}-5x) = \log _{3x} (4x-8)
Решение Данное логарифмическое уравнение является уравнением вида \log _{\varphi (x)} f(x) = \log _{\varphi (x)} g(x), которое равносильно одной из систем

\begin{cases} f(x) = g(x)\\ f(x) > 0 \\ \varphi (x) > 0 \\ \varphi (x) \neq 1 \end{cases} или \begin{cases} f(x) = g(x)\\ g(x) > 0 \\ \varphi (x) > 0 \\ \varphi (x) \neq 1 \end{cases}

Тогда исходное уравнение будет равносильно системе

    \[ \begin{cases} x^{2}-5x = 4x-8 \\ 4x-8 > 0 \\ 3x > 0 \\ 3x \neq 1 \end{cases} \text{ } \Rightarrow \text{ } \begin{cases} x^{2}-9x+8=0 \\ x>2 \\ x > 0 \\ x \neq \frac{1}{3} \end{cases} \text{ } \Rightarrow \text{ } \begin{cases} x^{2}-9x+8=0 \\ x>2 \end{cases} \]

Решим полученное квадратное уравнение.

    \[    D = (-9)^{2} -4 \cdot 1 \cdot 8 \text{ } \Rightarrow \text{ } D=49 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sqrt{D}=\sqrt{49} =7 \]

    \[    x_{1,2} = \frac{9 \pm 7}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=8 \text{ } ; \text{ } x_{2}=1 \]

Учитывая последнюю систему, подходят только те корни, значение которых больше 2. Следовательно, решение исходного уравнения x=8 .

Ответ x=8
ПРИМЕР 6
Задание Решить уравнение \log _{6} (x+1) + \log _{6} (2x+1) =1
Решение Преобразуем исходное уравнение. Сумму логарифмов в левой части по свойству логарифмов заменим логарифмом произведения; единицу в правой части представим в виде логарифма по основанию 6: 1 = \log _{6} 6 . Тогда получим:

    \[    \log _{6} \left[ (x+1)(2x+1) \right] = \log _{6} 6 \]

Потенцируя левую и правую часть последнего равенства по основанию 6, получим:

    \[    6^{\log _{6} \left[ (x+1)(2x+1) \right]} = 6^{\log _{6} 6} \]

Согласно основному логарифмическому тождеству будем иметь:

    \[    (x+1)(2x+1)=6 \]

Учитывая ОДЗ \begin{cases} x+1>0 \\ 2x+1>0 \end{cases} , приходим к следующей системе:

    \[ \begin{cases} (x+1)(2x+1)=6 \\ x+1 >0 \\ 2x+1>0 \end{cases} \text{ } \Rightarrow \text{ } \begin{cases} 2x^{2}+2x+x+1=6 \\ x>-1 \\ x>-\frac{1}{2} \end{cases} \text{ } \Rightarrow \text{ } \begin{cases} 2x^{2}+3x-5=0 \\ x>-\frac{1}{2} \end{cases} \]

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

    \[    D = 3^{2} -4 \cdot 2 \cdot (-5) \text{ } \Rightarrow \text{ } D=49 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sqrt{D}=\sqrt{49} =7 \]

    \[    x_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{4} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=1 \text{ } ; \text{ } x_{2}=-2,5 \]

Учитывая неравенство из последней системы, решением исходного уравнения будет только x=1 .

Ответ x=1
ПРИМЕР 7
Задание Решить уравнение \log _{2} ^{2} (3-x) + 3 \log _{2} (3-x)=4
Решение Исходное логарифмическое уравнение будем решать методом замены переменной. Введем замену \log _{2} (3-x)=t, тогда получим:

    \[    t^{2}+3t=4 \]

    \[    t^{2}+3t-4=0 \]

Решая полученное квадратное уравнение, будем иметь:

    \[    D = 3^{2} -4 \cdot 1 \cdot (-4) \text{ } \Rightarrow \text{ } D=25 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sqrt{D}=\sqrt{25} =5 \]

    \[    t_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } t_{1}=1 \text{ } ; \text{ } t_{2}=-4 \]

Делаем обратную замену:

а) \log _{2} (3-x)=1 \text{ } \Rightarrow \text{ } 3-x =2^{1} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=1

б) \log _{2} (3-x) =-4 \text{ } \Rightarrow \text{ } 3-x=2^{-4} \text{ } \Rightarrow \text{ } 3-x = \frac{1}{16} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{2}=2\frac{15}{16}

Ответ x_{1}=1 \text{ } ;\text{ } x_{2}=2\frac{15}{16}