Примеры решения логарифмических уравнений

Теория про логарифмические уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнения, которые содержат переменную под знаком логарифма или в его основании, называются логарифмическими.

Простейшие логарифмических уравнений:

$\log _{a} x = b \text{ } \Leftrightarrow \text{ } x=a^{b} \text{ },\text{ } x>0 \text{ },\text{ } a>0 \text{ },\text{ } a \neq 1$
$\log _{a} f(x) = b \text{ } \Leftrightarrow \text{ } f(x)=a^{b} \text{ },\text{ } f(x)>0 \text{ },\text{ } a>0 \text{ },\text{ } a \neq 1$
$\log _{a} f(x) = g(x) \text{ } \Leftrightarrow \text{ } f(x)=a^{g(x)} \text{ },\text{ } f(x)>0 \text{ },\text{ } a>0 \text{ },\text{ } a \neq 1$
Уравнение $\log _{a} f(x) = \log _{a} g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) = g(x)\\ f(x) > 0 \end{cases}$ или $\begin{cases} f(x) = g(x)\\ g(x) > 0 \end{cases}$ , где $a>0 \text{ },\text{ } a \neq 1$ .
Уравнение $\log _{\varphi (x)} f(x) = \log _{\varphi (x)} g(x)$ равносильно системе $\begin{cases} f(x) = g(x)\\ f(x) > 0 \\ \varphi (x) > 0 \\ \varphi (x) \neq 1 \end{cases}$ или системе $\begin{cases} f(x) = g(x)\\ g(x) > 0 \\ \varphi (x) > 0 \\ \varphi (x) \neq 1 \end{cases}$ .

Так же при решении логарифмических выражений применяется метод потенцирования – переход от уравнения с логарифмами к уравнениям, которые их не содержат; и метод замены переменной.

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Решить уравнение $\log _{0,1} x = 3$

Решение

ОДЗ: $x>0$ .

Это уравнение первого вида $\log _{a} x = b \text{ } \Leftrightarrow \text{ } x=a^{b} \text{ },\text{ } a>0 \text{ },\text{ } a \neq 1$ . Для нахождения решения, возведем основание логарифма в степень равную 3 (правая часть уравнения), получим:

$x = (0,1)^{3} \text{ } \Rightarrow \text{ } x = 0,001$

Полученное решение принадлежит ОДЗ, поэтому $x=0,001$ – решение исходного уравнения.

Ответ

$x=0,001$

ПРИМЕР 2

Задание

Решить уравнение $\lg (10-x)=4$

Решение

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$10-x>0 \text{ } \Rightarrow \text{ } x<10 \text{ } \Rightarrow \text{ } x \in (-\infty, 10)$

Имеем логарифмическое уравнение вида $\log _{a} f(x) = b$ , решение которого $f(x)=a^{b}$ . В нашем случае рассматривается десятичный логарифм, то есть его основание равно 10, тогда:

$10-x=10^{4}$

$10-x=10000$

$x=10-1000$

$x=-9990$

Полученное значение $x$ принадлежит ОДЗ, поэтому $x=-9990$ является решением исходного уравнения.

Ответ

$x=-9990$

ПРИМЕР 3

Задание

Решить уравнение $\log _{4} (2 \cdot 4^{x-2}-1)=2x-4$

Решение

Найдем ОДЗ:

$2 \cdot 4^{x-2}-1>0$

$4^{x-2}>\frac{1}{2}$

$2^{2(x-2)}>2^{-1}$

$2x-4>-1$

$2x>3$

$x > \frac{3}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x \in \left( \frac{3}{2}; +\infty \right)$

Решение логарифмического уравнения $\log _{a} f(x) = g(x)$ имеет вид $f(x)=a^{g(x)}$ . Применяя это к исходному уравнению, получим

$2 \cdot 4^{x-2}-1=4^{2x-4}$

$2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{-2} -1=4^{2x} \cdot 4^{-4}$

Умножим левую и правую части последнего равенства на $4^{4}$ , получим:

$( 2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{-2} -1) \cdot 4^{4} =4^{2x} \cdot 4^{-4} \cdot 4^{4}$

$2 \cdot 4^{x} \cdot 4^{2} - 4^{4} =4^{2x}$

$4^{2x} - 32 \cdot 4^{x} + 256=0$

Полученное показательное уравнение решим методом замены переменной. Введем замену $t=4^{x}>0$ , тогда уравнение примет вид:

$t^{2}-32t+256=0$

Полученное квадратное уравнение можно свернуть по формулам сокращенного умножения в квадрат разности:

$(t-16)^{2} = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } t-16=0 \text{ } \Rightarrow \text{ } t = 16$

Сделаем обратную замену $4^{x}=16 \text{ } \Rightarrow \text{ } 4^{x} = 4^{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x=2 \in$ ОДЗ.

Ответ

$x=2$

ПРИМЕР 4

Задание

Решить уравнение $\log _{0,7} (x^{2}-4x-5) = \log _{0,7} (5-x)$

Решение

Данное уравнение равносильно системе

$\begin{cases} x^{2}-4x-5 = 5-x \\ 5-x > 0 \end{cases}$

которую можно преобразовать следующим образом:

$\begin{cases} x^{2}-3x-10=0 \\ x<5 \end{cases}$

Решим отдельно полученное квадратное уравнение.

$D = (-3)^{2} -4 \cdot 1 \cdot (-10) \text{ } \Rightarrow \text{ } D=49 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sqrt{D}=\sqrt{49} =7$

$x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=5 \text{ } ; \text{ } x_{2}=-2$

Корень $x_{1}=5$ , не подходит, так как не удовлетворяет неравенству $x<5$ . Таким образом, решением данного уравнения является $x=-2$ .

Ответ

$x=-2$

ПРИМЕР 5

Задание

Решить уравнение $\log _{3x} (x^{2}-5x) = \log _{3x} (4x-8)$

Решение

Данное логарифмическое уравнение является уравнением вида $\log _{\varphi (x)} f(x) = \log _{\varphi (x)} g(x)$ , которое равносильно одной из систем

$\begin{cases} f(x) = g(x)\\ f(x) > 0 \\ \varphi (x) > 0 \\ \varphi (x) \neq 1 \end{cases}$ или $\begin{cases} f(x) = g(x)\\ g(x) > 0 \\ \varphi (x) > 0 \\ \varphi (x) \neq 1 \end{cases}$

Тогда исходное уравнение будет равносильно системе

$\begin{cases} x^{2}-5x = 4x-8 \\ 4x-8 > 0 \\ 3x > 0 \\ 3x \neq 1 \end{cases} \text{ } \Rightarrow \text{ } \begin{cases} x^{2}-9x+8=0 \\ x>2 \\ x > 0 \\ x \neq \frac{1}{3} \end{cases} \text{ } \Rightarrow \text{ } \begin{cases} x^{2}-9x+8=0 \\ x>2 \end{cases}$

Решим полученное квадратное уравнение.

$D = (-9)^{2} -4 \cdot 1 \cdot 8 \text{ } \Rightarrow \text{ } D=49 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sqrt{D}=\sqrt{49} =7$

$x_{1,2} = \frac{9 \pm 7}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=8 \text{ } ; \text{ } x_{2}=1$

Учитывая последнюю систему, подходят только те корни, значение которых больше 2. Следовательно, решение исходного уравнения $x=8$ .

Ответ

$x=8$

ПРИМЕР 6

Задание

Решить уравнение $\log _{6} (x+1) + \log _{6} (2x+1) =1$

Решение

Преобразуем исходное уравнение. Сумму логарифмов в левой части по свойству логарифмов заменим логарифмом произведения; единицу в правой части представим в виде логарифма по основанию $6: 1 = \log _{6} 6$ . Тогда получим:

$\log _{6} \left[ (x+1)(2x+1) \right] = \log _{6} 6$

Потенцируя левую и правую часть последнего равенства по основанию 6, получим:

$6^{\log _{6} \left[ (x+1)(2x+1) \right]} = 6^{\log _{6} 6}$

Согласно основному логарифмическому тождеству будем иметь:

$(x+1)(2x+1)=6$

Учитывая ОДЗ $\begin{cases} x+1>0 \\ 2x+1>0 \end{cases}$ , приходим к следующей системе:

$\begin{cases} (x+1)(2x+1)=6 \\ x+1 >0 \\ 2x+1>0 \end{cases} \text{ } \Rightarrow \text{ } \begin{cases} 2x^{2}+2x+x+1=6 \\ x>-1 \\ x>-\frac{1}{2} \end{cases} \text{ } \Rightarrow \text{ } \begin{cases} 2x^{2}+3x-5=0 \\ x>-\frac{1}{2} \end{cases}$

Найдем корни полученного квадратного уравнения:

$D = 3^{2} -4 \cdot 2 \cdot (-5) \text{ } \Rightarrow \text{ } D=49 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sqrt{D}=\sqrt{49} =7$

$x_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{4} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=1 \text{ } ; \text{ } x_{2}=-2,5$

Учитывая неравенство из последней системы, решением исходного уравнения будет только $x=1$ .

Ответ

$x=1$

ПРИМЕР 7

Задание

Решить уравнение $\log _{2} ^{2} (3-x) + 3 \log _{2} (3-x)=4$

Решение

Исходное логарифмическое уравнение будем решать методом замены переменной. Введем замену $\log _{2} (3-x)=t$ , тогда получим:

$t^{2}+3t=4$

$t^{2}+3t-4=0$

Решая полученное квадратное уравнение, будем иметь:

$D = 3^{2} -4 \cdot 1 \cdot (-4) \text{ } \Rightarrow \text{ } D=25 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sqrt{D}=\sqrt{25} =5$

$t_{1,2} = \frac{-3 \pm 5}{2} \text{ } \Rightarrow \text{ } t_{1}=1 \text{ } ; \text{ } t_{2}=-4$

Делаем обратную замену:

а) $\log _{2} (3-x)=1 \text{ } \Rightarrow \text{ } 3-x =2^{1} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{1}=1$

б) $\log _{2} (3-x) =-4 \text{ } \Rightarrow \text{ } 3-x=2^{-4} \text{ } \Rightarrow \text{ } 3-x = \frac{1}{16} \text{ } \Rightarrow \text{ } x_{2}=2\frac{15}{16}$

Ответ

$x_{1}=1 \text{ } ;\text{ } x_{2}=2\frac{15}{16}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения логарифмических уравнений

Теория про логарифмические уравнения

Примеры