Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная арккотангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная арккотангенса равна минус единица, деленная на единицу плюс аргумент в квадрате.

    \[    \left( \text{arcctg} x \right)' = -\frac{1}{1+x^{2}} \]

Как можно заметить, производная арккотангенса отличается от производной арктангенса только знаком.

Функция y = \text{arcctg} x является обратной к функции y = \text{ctg} x . Если аргумент арккотангенса отличен от просто «икс», то его производная находится по формуле:

    \[    \left( \text{arcctg} u(x) \right)' = -\frac{1}{1+u^{2}(x)} \cdot \left( u(x) \right)' \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = \text{arcctg} 2x + 3
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \text{arcctg} 2x + 3 \right)' \]

По свойству производных производная суммы равна сумме производных от каждого из слагаемых, то есть

    \[    y'(x) = \left( \text{arcctg} 2x + 3 \right)' = \left( \text{arcctg} 2x \right)' + \left( 3 \right)' \]

Производная от первого слагаемого

    \[    \left( \text{arcctg} 2x \right)' = -\frac{1}{1+\left( 2x \right)^{2}} \cdot \left( 2x \right)' = -\frac{1}{1+4x^{2}} \cdot 2 \cdot \left( x \right)' = -\frac{2}{1+4x^{2}} \cdot 1 = -\frac{2}{1+4x^{2}} \]

Производная второго слагаемого

    \[    \left( 3 \right)' = 0 \]

как производная константы.

Таким образом,

    \[    y'(x) = \left( \text{arcctg} 2x \right)' + \left( 3 \right)' =-\frac{2}{1+4x^{2}} + 0 = -\frac{2}{1+4x^{2}}  \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = \ln \left( \text{arcctg} x \right)
Решение Производная заданной функции:

    \[    y'(x) = \left( \ln \left( \text{arcctg} x \right) \right)' \]

Производная натурального логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию: \left( \ln x \right)' = \frac{1}{x} . Тогда

    \[    y'(x) = \left( \ln \left( \text{arcctg} x \right) \right)' = \frac{1}{\text{arcctg} x} \cdot \left( \text{arcctg} x \right)' \]

Производная от логарифма была умножена еще на производную от его аргумента, так как подлогарифмическая функция отлична от x.

Находим теперь производную от арккотангенса:

    \[    y'(x) = \frac{1}{\text{arcctg} x} \cdot \left( \text{arcctg} x \right)' =  \frac{1}{\text{arcctg} x} \cdot \left( -\frac{1}{1+x^{2}} \right) = -\frac{1}{ \left( 1+x^{2} \right) \text{arcctg} x} \]

Ответ