Производная арккотангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная арккотангенса равна минус единица, деленная на единицу плюс аргумент в квадрате.

$\left( \text{arcctg} x \right)' = -\frac{1}{1+x^{2}}$

Как можно заметить, производная арккотангенса отличается от производной арктангенса только знаком.

Функция $y = \text{arcctg} x$ является обратной к функции $y = \text{ctg} x$ . Если аргумент арккотангенса отличен от просто «икс», то его производная находится по формуле:

$\left( \text{arcctg} u(x) \right)' = -\frac{1}{1+u^{2}(x)} \cdot \left( u(x) \right)'$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y(x) = \text{arcctg} 2x + 3$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( \text{arcctg} 2x + 3 \right)'$

По свойству производных производная суммы равна сумме производных от каждого из слагаемых, то есть

$y'(x) = \left( \text{arcctg} 2x + 3 \right)' = \left( \text{arcctg} 2x \right)' + \left( 3 \right)'$

Производная от первого слагаемого

$\left( \text{arcctg} 2x \right)' = -\frac{1}{1+\left( 2x \right)^{2}} \cdot \left( 2x \right)' = -\frac{1}{1+4x^{2}} \cdot 2 \cdot \left( x \right)' = -\frac{2}{1+4x^{2}} \cdot 1 = -\frac{2}{1+4x^{2}}$

Производная второго слагаемого

$\left( 3 \right)' = 0$

как производная константы.

Таким образом,

$y'(x) = \left( \text{arcctg} 2x \right)' + \left( 3 \right)' =-\frac{2}{1+4x^{2}} + 0 = -\frac{2}{1+4x^{2}}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции $y(x) = \ln \left( \text{arcctg} x \right)$

Решение

Производная заданной функции:

$y'(x) = \left( \ln \left( \text{arcctg} x \right) \right)'$

Производная натурального логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию: $\left( \ln x \right)' = \frac{1}{x}$ . Тогда

$y'(x) = \left( \ln \left( \text{arcctg} x \right) \right)' = \frac{1}{\text{arcctg} x} \cdot \left( \text{arcctg} x \right)'$

Производная от логарифма была умножена еще на производную от его аргумента, так как подлогарифмическая функция отлична от $x$ .

Находим теперь производную от арккотангенса:

$y'(x) = \frac{1}{\text{arcctg} x} \cdot \left( \text{arcctg} x \right)' = \frac{1}{\text{arcctg} x} \cdot \left( -\frac{1}{1+x^{2}} \right) = -\frac{1}{ \left( 1+x^{2} \right) \text{arcctg} x}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производная арккотангенса

Примеры решения задач