Производная арктангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная арктангенса равна единице, деленной на сумму единицы и квадрата аргумента.

$\left( \text{arctg} x \right)' = \frac{1}{1+x^{2}}$

Данная функция является обратной к функции $y = \text{tg} x$ . Если аргумент арктангенса есть некоторой функцией $u(x)$ , то его производная равна

$\left( \text{arctg} u(x) \right)' = \frac{1}{1+u^{2}(x)} \cdot \left( u(x) \right)'$

Примеры решения задач по теме «Производная арктангенса»

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y(x) = \text{arctg} \sqrt{x}$

Решение

Так как аргумент арктангенса есть функцией от $x$ , то искомую производную находим по формуле:

$\left( \text{arctg} u(x) \right)' = \frac{1}{1+u^{2}(x)} \cdot \left( u(x) \right)'$

где $u(x) = \sqrt{x}$ . Тогда имеем:

$y'(x) = \left( \text{arctg} \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{1+\left( \sqrt{x} \right)^{2}} \cdot \left( \sqrt{x} \right)'$

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня: $\left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

Тогда

$y'(x) = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{2 \sqrt{x} (1+x)}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции $y(x) = \left(1 + \text{arctg} x \right)^{2}$

Решение

Искомая производная

$y'(x) = \left( \left(1 + \text{arctg} x \right)^{2} \right)'$

Заданная функция представляет собой степенную функцию, поэтому производную от нее находим по формуле: $\left( x^{n} \right)' = n x^{n-1}$ . Так как основание степени есть не просто $x$ , то умножаем еще и на производную основания:

$y'(x) = \left( \left(1 + \text{arctg} x \right)^{2} \right)' = 2 \left(1 + \text{arctg} x \right)^{2-1} \cdot \left(1 + \text{arctg} x \right)' =$

$= 2 \left(1 + \text{arctg} x \right) \cdot \left(1 + \text{arctg} x \right)'$

Производная суммы равна сумме производных, то есть

$\left(1 + \text{arctg} x \right)' = \left( 1 \right)' + \left( \text{arctg} x \right)'$

Производная от первого слагаемого – единицы – равна нулю, как от константы:

$\left( 1 \right)' = 0$

а производная второго слагаемого

$\left( \text{arctg} x \right)' = \frac{1}{1+x^{2}}$

Итак, производная заданной функции

$y'(x) = 2 \left(1 + \text{arctg} x \right) \cdot \left(1 + \text{arctg} x \right)' = 2 \left(1 + \text{arctg} x \right) \cdot \left( 0 + \frac{1}{1+x^{2}} \right) = \frac{2 \left(1 + \text{arctg} x \right)}{1+x^{2}}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производная арктангенса

Примеры решения задач по теме «Производная арктангенса»