Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная арктангенса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная арктангенса равна единице, деленной на сумму единицы и квадрата аргумента.

    \[    \left( \text{arctg} x \right)' = \frac{1}{1+x^{2}} \]

Данная функция является обратной к функции y = \text{tg} x. Если аргумент арктангенса есть некоторой функцией u(x), то его производная равна

    \[    \left( \text{arctg} u(x) \right)' = \frac{1}{1+u^{2}(x)} \cdot \left( u(x) \right)' \]

Примеры решения задач по теме «Производная арктангенса»

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = \text{arctg} \sqrt{x}
Решение Так как аргумент арктангенса есть функцией от x, то искомую производную находим по формуле:

    \[    \left( \text{arctg} u(x) \right)' = \frac{1}{1+u^{2}(x)} \cdot \left( u(x) \right)' \]

где u(x) = \sqrt{x} . Тогда имеем:

    \[    y'(x) = \left( \text{arctg} \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{1+\left( \sqrt{x} \right)^{2}} \cdot \left( \sqrt{x} \right)' \]

Производная от корня равна единице деленной на два таких же корня: \left( \sqrt{x} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} .

Тогда

    \[    y'(x) = \frac{1}{1+x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{2 \sqrt{x} (1+x)} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = \left(1 + \text{arctg} x \right)^{2}
Решение Искомая производная

    \[    y'(x) = \left( \left(1 + \text{arctg} x \right)^{2} \right)' \]

Заданная функция представляет собой степенную функцию, поэтому производную от нее находим по формуле: \left( x^{n} \right)' = n x^{n-1} . Так как основание степени есть не просто x, то умножаем еще и на производную основания:

    \[    y'(x) = \left( \left(1 + \text{arctg} x \right)^{2} \right)' = 2 \left(1 + \text{arctg} x \right)^{2-1} \cdot \left(1 + \text{arctg} x \right)' =  \]

    \[    = 2 \left(1 + \text{arctg} x \right) \cdot \left(1 + \text{arctg} x \right)' \]

Производная суммы равна сумме производных, то есть

    \[    \left(1 + \text{arctg} x \right)' = \left( 1 \right)' + \left( \text{arctg} x \right)' \]

Производная от первого слагаемого – единицы – равна нулю, как от константы:

    \[   \left( 1 \right)' = 0 \]

а производная второго слагаемого

    \[    \left( \text{arctg} x \right)' = \frac{1}{1+x^{2}} \]

Итак, производная заданной функции

    \[    y'(x) = 2 \left(1 + \text{arctg} x \right) \cdot \left(1 + \text{arctg} x \right)' = 2 \left(1 + \text{arctg} x \right) \cdot  \left( 0 + \frac{1}{1+x^{2}} \right) = \frac{2 \left(1 + \text{arctg} x \right)}{1+x^{2}} \]

Ответ