Производная натурального логарифма

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная натурального логарифма равна единице, деленной на подлогарифмическую функцию.

$\left( \ln x \right)' = \frac{1}{x}$

Данную формулу легко получить из формулы производной логарифма по произвольному основанию $a$ , с учетом того, что $a=e$ и свойств логарифма: $\ln e = 1$

$\left( \ln x \right)' = \left( \log _{e} x \right)' = \frac{1}{x \ln e} = \frac{1}{x}$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y(x) = \ln \sin x$

Решение

Искомая производная равна:

$y'(x) = \left( \ln \sin x \right)'$

Производная логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию. И так как последняя является сложной функцией, то еще умножаем на ее производную:

$y'(x) = \left( \ln \sin x \right)' = \frac{1}{\sin x} \cdot \left( \sin x \right)'$

Производная синуса равна косинусу:

$\left( \sin x \right)' = \cos x$

Тогда имеем:

$y'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \left( \sin x \right)' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \text{ctg} x$

Ответ

$y'(x) = \text{ctg} x$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции $y(x) = \ln^{2} x$

Решение

Искомая производная равна:

$y'(x) = \left( \ln^{2} x \right)'$

Вначале берем производную как от степенной функции по формуле $\left( u^{n} \right)' = n u^{n-1}$ . Мы домножили на производную основания степени, так как оно есть сложной функцией (отлично от просто $x$ ). Тогда для $u = \ln x$ имеем:

$y'(x) = \left( \ln^{2} x \right)' = \left( \left( \ln x \right)^{2} \right)' = 2 \left( \ln x \right)^{2-1} \cdot \left( \ln x \right)' = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x}$

Было учтено, что $\left( \ln x \right)' = \frac{1}{x}$ .

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Производная натурального логарифма

Примеры решения задач