Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Производная натурального логарифма

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная натурального логарифма равна единице, деленной на подлогарифмическую функцию.

    \[    \left( \ln x \right)' = \frac{1}{x} \]

Данную формулу легко получить из формулы производной логарифма по произвольному основанию a, с учетом того, что a=e и свойств логарифма: \ln e = 1

    \[    \left( \ln x \right)' = \left( \log _{e} x \right)' = \frac{1}{x \ln e} = \frac{1}{x} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y(x) = \ln \sin x
Решение Искомая производная равна:

    \[    y'(x) = \left( \ln \sin x \right)' \]

Производная логарифма равна единице деленной на подлогарифмическую функцию. И так как последняя является сложной функцией, то еще умножаем на ее производную:

    \[    y'(x) = \left( \ln \sin x \right)' = \frac{1}{\sin x} \cdot \left( \sin x \right)' \]

Производная синуса равна косинусу:

    \[    \left( \sin x \right)' = \cos x \]

Тогда имеем:

    \[    y'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \left( \sin x \right)' = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{\sin x} = \text{ctg} x \]

Ответ y'(x) = \text{ctg} x
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y(x) = \ln^{2} x
Решение Искомая производная равна:

    \[    y'(x) = \left( \ln^{2} x \right)' \]

Вначале берем производную как от степенной функции по формуле \left( u^{n} \right)' = n u^{n-1} . Мы домножили на производную основания степени, так как оно есть сложной функцией (отлично от просто x). Тогда для u = \ln x имеем:

    \[    y'(x) = \left( \ln^{2} x \right)' = \left( \left( \ln x \right)^{2} \right)' = 2 \left( \ln x \right)^{2-1} \cdot \left( \ln x \right)' = 2 \ln x  \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \ln x}{x} \]

Было учтено, что \left( \ln x \right)' = \frac{1}{x} .

Ответ