Признаки делимости

Признаки делимости – это специальные правила, которые помогают быстро определить, делится ли какое-либо натуральное число на заданное натуральное число, не производя операции деления.

ТЕОРЕМА

Теорема о делимости суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

ТЕОРЕМА

Теорема о делимости произведения. Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Основные признаки делимости

Признак делимости на 2. Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра четная.

Признак делимости на 3. Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 4. Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа.

Признак делимости на 5. Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.

Признак делимости на 6. Натуральное число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 7. Натуральное число делится на 7, если число десятков, умноженное на 3, в сумме с числом единиц делится на 7.

Признак делимости на 8. Натуральное трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда число единиц, сложенное с удвоенным числом десятков и учетверённым числом сотен, делится на 8.

Признак делимости на 9. Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Признак делимости на 10. Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Не выполняя умножения выяснить, делится ли произведение $105\cdot 48\cdot 93\cdot 54$ на $5$ .
Решение	Согласно теореме о делимости произведения, число $105\cdot 48\cdot 93\cdot 54$ делится на 5, потому что входящий в данное произведение множитель 105 делится на 5 (т.к. оканчивается на 5).