Механический смысл производной

Рассмотрим движение материальной точки вдоль координатной оси, причём задан закон движения функцией $x(t)$ времени $t .$ В течение интервала времени от $t_0$ до $t_0 + \Delta t$ материальная точка перемещается на расстояние $\Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0)$ , а её средняя скорость равна

$v_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

При $\Delta t \to 0$ значение средней скорости стремится к определенной величине, которая называется мгновенной скоростью $v(t_0)$ материальной точки в момент времени $t_0$ , то есть

$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t}$

А по определению производной, величина, стоящая в правой части, равна $x'(t_0)$ , то есть

$v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = x'(t_0)$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Итак, механический смысл производной: скорость – это производная координаты по времени:

$v(t) = x'(t)$

ПРИМЕР 1

Задание

Чему равна скорость тела, двигающегося по закону $s(t) = t^3 - 3t + 4$ в момент времени $t_0 = 1$ .

Решение

Находим первую производную от пути:

$v(t) = s'(t) = \left( t^3 - 3t +4 \right)' = \left( t^3 \right)' - 3 \cdot (t)' + (4)' = 3t^2 - 3 \cdot 1 + 0 = 3t^2 - 3$

В заданный момент времени имеем:

$v(1) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 3 - 3 =0$

Ответ

$v(1) = 0$

ПРИМЕР 2

Задание

Движение материальной точки задано уравнением $x(t) = t^2 - 18t - 7$ . Определить момент времени, в который скорость точки равна нулю.

Решение

Найдем скорость движения точки, для этого продифференцируем функцию $x(t)$ :

$v(t) = x'(t) = \left( t^2 - 18t - 7 \right)' = \left( t^2 \right)' - 18 \cdot (t)' - (7)' =2t - 18 \cdot 1 - 0 = 2t - 18$

По условию в некоторый момент времени $t_0$ скорость $v(t)$ равна нулю, то есть

$v(t_0) = 2t_0 - 18 = 0$

Решаем полученное уравнение:

$2t_0 - 18 = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } 2t_0 = 18 \text{ } \Rightarrow \text{ } t_0 = 9$

Ответ

В момент времени $t_0 = 9$ скорость движения материальной точки равна нулю.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Механический смысл производной