Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Механический смысл производной

Рассмотрим движение материальной точки вдоль координатной оси, причём задан закон движения функцией x(t) времени t . В течение интервала времени от t_0 до t_0 + \Delta t материальная точка перемещается на расстояние \Delta x = x(t_0 + \Delta t) - x(t_0) , а её средняя скорость равна

    \[ v_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t} \]

При \Delta t \to 0 значение средней скорости стремится к определенной величине, которая называется мгновенной скоростью v(t_0) материальной точки в момент времени t_0, то есть

    \[ v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} \]

А по определению производной, величина, стоящая в правой части, равна x'(t_0) , то есть

    \[ v(t_0) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = x'(t_0) \]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Итак, механический смысл производной: скорость – это производная координаты по времени:

    \[ 	v(t) = x'(t) 	\]

ПРИМЕР 1
Задание Чему равна скорость тела, двигающегося по закону s(t) = t^3 - 3t + 4 в момент времени t_0 = 1 .
Решение Находим первую производную от пути:

    \[ 				v(t) = s'(t) = \left( t^3 - 3t +4 \right)' = \left( t^3 \right)' - 3 \cdot (t)' + (4)' = 3t^2 - 3 \cdot 1 + 0 = 3t^2 - 3 				\]

В заданный момент времени имеем:

    \[ 				v(1) = 3 \cdot 1^2 - 3 = 3 - 3 =0 				\]

Ответ v(1) = 0
ПРИМЕР 2
Задание Движение материальной точки задано уравнением x(t) = t^2 - 18t - 7 . Определить момент времени, в который скорость точки равна нулю.
Решение Найдем скорость движения точки, для этого продифференцируем функцию x(t) :

    \[ 				v(t) = x'(t) = \left( t^2 - 18t - 7 \right)' = \left( t^2 \right)' - 18 \cdot (t)' - (7)' =2t - 18 \cdot 1 - 0 = 2t - 18 				\]

По условию в некоторый момент времени t_0 скорость v(t) равна нулю, то есть

    \[ 				v(t_0) = 2t_0 - 18 = 0 				\]

Решаем полученное уравнение:

    \[ 				2t_0 - 18 = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } 2t_0 = 18 \text{ } \Rightarrow \text{ } t_0 = 9 				\]

Ответ В момент времени t_0 = 9 скорость движения материальной точки равна нулю.