Мгновенная скорость движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Мгновенная скорость – это скорость тела в данный момент времени или в данной точке траектории. Это векторная физическая величина, численно равная пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени:

$\overline{v} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \overline{s}}{\Delta t} = \overline{r}' (t)$

Другими словами, мгновенная скорость – это первая производная радиус-вектора по времени.

Вектор мгновенной скорости всегда направлен по касательной к траектории тела в сторону движения тела.

Мгновенная скорость дает точную информацию о движении в определенный момент времени. Например, при езде в автомобиле в некоторый момент времени водитель смотрит на спидометр и видит, что прибор показывает 100 км/ч. Через некоторое время стрелка спидометра указывает на величину 90 км/ч, а еще спустя несколько минут – на величину 110 км/ч. Все перечисленные показания спидометра – это значения мгновенной скорости автомобиля в определенные моменты времени. Скорость в каждый момент времени и в каждой точке траектории необходимо знать при стыковке космических станций, при посадке самолетов и т.д.

Имеет ли понятие «мгновенной скорости» физический смысл? Скорость – это характеристика изменения перемещения тела в пространстве. Однако, для того, чтобы определить, как изменилось перемещение, необходимо наблюдать за движением в течение некоторого времени. Даже самые совершенные приборы для измерения скорости такие как радарные установки, измеряют скорость за промежуток времени – пусть достаточно малый $(\sim 10^{-6} \text{ c})$ , однако это все-таки конечный временной интервал, а не момент времени. Выражение «скорость тела в данный момент времени» с точки зрения физики не является корректным. Однако, понятие мгновенной скорости очень удобно в математических расчетах, и им постоянно пользуются.

Примеры решения задач по теме «Мгновенная скорость»

ПРИМЕР 1

Задание

О какой скорости – средней или мгновенной – идет речь в следующих случаях:

1) самолет летит из Санкт-Петербурга в Москву со скоростью 800 км/ч;

2) пуля вылетает из винтовки со скоростью 800 м/с;

3) велосипедист едет по шоссе со скоростью 12 км/ч;

4) прибор показывает скорость тепловоза 75 км/ч?

Ответ

1) и 3) – речь идет о средней скорости;

2) и 4) – речь идет о мгновенной скорости.

ПРИМЕР 2

Задание

Закон движения точки по прямой задается уравнением $x(t)=2t^2-5t+1$ . Найти мгновенную скорость точки через 10 секунд после начала движения.

Решение

Мгновенная скорость точки – это первая производная радиус-вектора по времени. Поэтому для мгновенной скорости можно записать:

$v(t)=x'(t) = (2t^2-5t+1)'=4t-5$

Через 10 секунд после начала движения мгновенная скорость будет иметь значение:

$v(10)=4 \cdot 10-5=35$ м/с

Ответ

Через 10 секунд после начала движения мгновенная скорость точки $v=35$ м/с.

ПРИМЕР 3

Задание

Тело движется по прямой так, что его координата $x$ (в метрах) изменяется по закону $x(t)=-t^2+10t+2$ . Через сколько секунд после начала движения тело остановится?