Применение производной в физике

Пусть материальная точка движется вдоль некоторой прямой. Выберем на указанной прямой точку – начало отсчета, положительное направление отсчета и единичный отрезок. Получаем, что положение точки будет определяться ее координатой на прямой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Зависимость $x = x(t)$ называется законом движения точки.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Средней скоростью движения материальной точки называется отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден:

$v_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t}$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Мгновенной скоростью в момент времени $t$ называется предел средней скорости движения за промежуток времени $[t ; t + \Delta t] ,$ когда $\Delta t \to 0 :$

$v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = x'(t)$

То есть мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки есть производная пути по времени – механический смысл производной.

ПРИМЕР

Задание

Найти мгновенную скорость при свободном падении.

Решение

Свободное падение задается следующим законом:

$s(t) = \frac{gt^2}{2}$

здесь $g = 9,8$ м/с² – ускорение свободного падения.

Согласно механическому смыслу производной, искомая мгновенная скорость равна

$v = s'(t) = \left( \frac{gt^2}{2} \right)' = \frac{g}{2} \cdot \left(t^2 \right)' = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt$

Ответ

$v = gt$

Применение производной для нахождения силы тока и плотности

Если $q = q(t)$ – количество электричества, которое протекает через поперечное сечение проводника за некоторое время $t$ , то сила тока есть производная количества электричества по времени, то есть

$I = q'(t)$

Пусть дан неоднородный стержень длины $l$ и $m=m(x)$ – масса части стержня длины $x$ (один из концов стержня принят за начало отсчета). Тогда линейная плотность стержня в данной точке равна производной массы стержня по его длине:

$\rho = m'(x)$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Применение производной в физике

Применение производной для нахождения силы тока и плотности