Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Применение производной в физике

Пусть материальная точка движется вдоль некоторой прямой. Выберем на указанной прямой точку – начало отсчета, положительное направление отсчета и единичный отрезок. Получаем, что положение точки будет определяться ее координатой на прямой.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Зависимость x = x(t) называется законом движения точки.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Средней скоростью движения материальной точки называется отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден:

    \[ 	v_{cp} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} 	\]

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Мгновенной скоростью в момент времени t называется предел средней скорости движения за промежуток времени [t ; t + \Delta t] , когда \Delta t \to 0 :

    \[ 	v = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{x(t + \Delta t) - x(t)}{\Delta t} = x'(t) 	\]

То есть мгновенная скорость прямолинейно движущейся точки есть производная пути по времени – механический смысл производной.

ПРИМЕР
Задание Найти мгновенную скорость при свободном падении.
Решение Свободное падение задается следующим законом:

    \[ 				s(t) = \frac{gt^2}{2} 				\]

здесь g = 9,8 м/с2 – ускорение свободного падения.

Согласно механическому смыслу производной, искомая мгновенная скорость равна

    \[ 				v = s'(t) = \left( \frac{gt^2}{2} \right)' = \frac{g}{2} \cdot \left(t^2 \right)' = \frac{g}{2} \cdot 2t = gt 				\]

Ответ v = gt

Применение производной для нахождения силы тока и плотности

Если q = q(t) – количество электричества, которое протекает через поперечное сечение проводника за некоторое время t , то сила тока есть производная количества электричества по времени, то есть

    \[ I = q'(t) \]

Пусть дан неоднородный стержень длины l и m=m(x) – масса части стержня длины x (один из концов стержня принят за начало отсчета). Тогда линейная плотность стержня в данной точке равна производной массы стержня по его длине:

    \[ \rho = m'(x) \]