Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула Тейлора для разложения функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Формулой Тейлора или рядом Тейлора в окрестности точки x=a называется выражение вида

    \[f\left( x \right)=f\left( a \right)+\frac{{f}'\left( a \right)}{1!}\left( x-a \right)+\frac{{f}''\left( a \right)}{2!}{{\left( x-a \right)}^{2}}+\frac{{f}'''\left( a \right)}{3!}{{\left( x-a \right)}^{3}}+...+\frac{{{f}^{\left( n \right)}}\left( a \right)}{n!}{{\left( x-a \right)}^{n}}+...=\]

    \[=\sum\limits_{n=0}^{\infty }{\frac{{{f}^{\left( n \right)}}\left( a \right)}{n!}{{\left( x-a \right)}^{n}}}\]

Формула Тейлора в окрестности точки x=0 называется формулой Маклорена.

Ряды Маклорена для некоторых элементарных функций:

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить приближенно \ln 7 , записав четыре первых члена его разложения в ряд Маклорена.
Решение Для вычисления используем разложение

    \[\ln \frac{1+x}{1-x}=2\left( x+\frac{{{x}^{3}}}{3}+\frac{{{x}^{5}}}{5}+..+\frac{{{x}^{2n-1}}}{2n-1} \right),\ \left| x \right|<1\]

Из равенства 7=\frac{1+x}{1-x} находим x :

    \[x=\frac{3}{4}\]

Таким образом,

    \[\ln 7=\ln \frac{1+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{4}}=2\cdot \left( \frac{3}{4}+\frac{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{3}}}{3}+\frac{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{5}}}{5}+\frac{{{\left( \frac{3}{4} \right)}^{7}}}{7}+... \right)\approx \]

    \[\approx 1,5+0,28125+0,094922+0,038138=1,91431\]

Ответ \ln 7\approx 1,91431
ПРИМЕР 2
Задание Найти первые три слагаемых разложения в ряд Тейлора в окрестности точки x=0 решения дифференциального уравнения {y}'=x+2,\ y\left( 0 \right)=-1 .
Решение Искомое разложение в ряд Тейлора имеет вид:

    \[y\left( x \right)=y\left( 0 \right)+\frac{{y}'\left( 0 \right)}{1!}\cdot x+\frac{{y}''\left( 0 \right)}{2!}\cdot {{x}^{2}}\]

Первое слагаемое y\left( 0 \right) задано по условию.

Производная функции в точке x=0

    \[{y}'\left( 0 \right)=0+2=2\]

Найдем вторую производную функции:

    \[{y}''={{\left( {{y}'} \right)}^{\prime }}={{\left( x+2 \right)}^{\prime }}=1+0=1\]

Тогда

    \[{y}''\left( 0 \right)=1\]

Итак, искомое разложение

    \[y\left( x \right)=-1+\frac{2}{1!}\cdot x+\frac{1}{2!}\cdot {{x}^{2}}=-1+2x+\frac{{{x}^{2}}}{2}\]

Ответ