Основные формулы комбинаторики

Определения и основные формулы комбинаторики

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Размещениями $A_{n}^{k}$ из $n$ элементов по $k$ называются такие комбинации, состоящие из $k$ элементов, взятых из заданных $n$ элементов, которые отличаются или элементами или их порядком. Количество размещений $A_{n}^{k}$ вычисляется по формуле

$A_{n}^{k} =\frac{n!}{\left(n-k\right)\, !}$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Перестановками $P_{n}$ из $n$ элементов называются различные способы упорядочения заданных $n$ элементов. Вычисляются перестановки из $n$ элементов по формуле:

$P_{n}=n!$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Сочетаниями из $n$ элементов по $k$ называются различные $k$ элементные подмножества заданного $n$ элементного множества. Количество таких сочетаний обозначается $C_{n}^{k}$ и вычисляется по формуле:

$C_{n}^{k} =\frac{n!}{k!\, \left(n-k\right)\, !}$

Алгоритм выбора формулы для вычисления количества комбинаций

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 5,6,7,8 при условии, что каждая цифра входит в запись числа ровно один раз.
Решение	Для числа есть важным порядок записи цифр в нем. При этом все заданные цифры входят в запись числа. Таким образом, имеет место перестановки из 4 элементов и их число равно $P_{4} =4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$
Ответ	24 четырехзначных числа.

ПРИМЕР 2

Задание	Сколькими способами можно распределить между 7 спортсменами три призовых места.
Решение	Пронумеруем спортсменов цифрами от 1 до 7. Рассмотрим все возможные комбинации этих цифр по три $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ . Тогда $x_{i}$ будет соответствовать $i$ -тому призовому месту. В каждой такой комбинации будет важен порядок входящих в неё цифр и не все цифры задействованы. Следовательно, имеем размещение 7 элементов по три $A_{7}^{3} =\frac{7!}{\left(7-3\right)!} =\frac{7!}{4!} =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4} =5\cdot 6\cdot 7=210$
Ответ	210 способами.

ПРИМЕР 3

Задание

Сколько существует способов из 10 спортсменов отобрать команду, в которую будет входить один командир команды и пять игроков.

Решение

Из 10 человек можно 10 способами выбрать командира. При отборе из оставшихся 9 спортсменов 5 человек их порядок в пятерке роли не играет. Таким образом, имеем сочетание из 9 по 5

$A_{9}^{3} =\frac{9!}{5!\cdot \left(9-5\right)!} =\frac{9!}{5!\cdot 4!} =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5} =126$

Общее число вариантов равно $10\cdot 126=1260$ .

Ответ

$1260$ способов.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Основные формулы комбинаторики

Определения и основные формулы комбинаторики

Алгоритм выбора формулы для вычисления количества комбинаций

Примеры решения задач