Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Справочник Решение уравнений Уравнение нормали

Уравнение нормали

Определение и уравнение нормали

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Прямая, перпендикулярная касательной к графику функции $y=f\left(x\right)$ в некоторой точке с абсциссой $x_{0}$ , называется нормалью к графику этой функции в указанной точке.

Уравнение нормали, формула и рисунок

Уравнение нормали имеет вид:

$y-y_{0} =-\frac{1}{f'\left(x_{0} \right)} \left(x-x_{0} \right),\; y_{0} =y\left(x_{0} \right)$

В случае параметрического задания функции $\left\{\begin{array}{l} {x=x\left(t\right),} \\ {y=y\left(t\right),} \end{array}\right.$ нормаль задается уравнением:

$x'\left(t_{0} \right)\left(x-x_{0} \right)+y'\left(t_{0} \right)\left(y-y_{0} \right)=0$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Записать уравнение нормали к графику функции $y=\sin x$ в точке с абсциссой $x_{0} =0$

Решение

Искомое уравнение имеет вид:

$y-y_{0} =-\frac{1}{f'\left(x_{0} \right)} \left(x-x_{0} \right)$

Найдем значение $y_{0}$ и производной функции в заданной точке:

$y_{0} =y\left(x_{0} \right)=y\left(0\right)=\sin 0=0$

$y'\left(x\right)=\left(\sin x\right)^{{'} } =\cos x, y'\left(x_{0} \right)=y'\left(0\right)=\cos 0=1$

Тогда

$y-0=-\frac{1}{1} \left(x-0\right)\Rightarrow y=-x$

Ответ

$y=-x$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти уравнение касательной к графику функции

$\left\{\begin{array}{l} {x=t,} \\ {y=t^{2} +1,} \end{array}\right$

если $t_{0} =1$

Решение

Функция задана параметрически, тогда искомое уравнение нормали

$x'\left(t_{0} \right)\left(x-x_{0} \right)+y'\left(t_{0} \right)\left(y-y_{0} \right)=0$

Найдем вначале значения $x_{0}$ и $y_{0}$ :

$x_{0} =x\left(t_{0} \right)=x\left(1\right)=1$

$y_{0} =y\left(t_{0} \right)=y\left(1\right)=1^{2} +1=2$

Находим производные $x'\left(t_{0} \right),\; y'\left(t_{0} \right)$ :

$x'\left(t\right)=\left(t\right)^{{'} } =1\Rightarrow x'\left(t_{0} \right)=x'\left(1\right)=1$

$y'\left(t\right)=\left(t^{2} +1\right)^{{'} } =2t\Rightarrow y'\left(t_{0} \right)=y'\left(1\right)=2\cdot 1=2$

Итак, уравнение нормали

$1\cdot \left(x-1\right)+2\cdot \left(y-2\right)=0$ , $x-1+2y-4=0$ или $x+2y-5=0$

Ответ

$x+2y-5=0$

© SolverBook - онлайн сервисы для учебы, 2015

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Почта для связи: info@ru.solverbook.com

Выберите язык:

Сервисы

SolverBook