Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение касательной

Определение и уравнение касательной

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Касательная — прямая, проходящая через кривую y=f\left(x\right) и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис. 1).
Уравнение касательной к графику функции

Геометрический смысл производной: если к графику функции y=f\left(x\right) в точке с абсциссой x_{0} проведена касательная, то угловой коэффициент касательной (равный тангенсу угла между этой касательной и положительным направлением оси абсцисс) равен производной функции в точке x_{0}:

    \[k_{kas} ={\rm tg}\; \alpha =y'\left(x_{0} \right)\]

Уравнение касательной, проведенной к графику функции y=f\left(x\right) в точке \left(x_{0} ;\; y_{0} =y\left(x_{0} \right)\right), имеет вид:

    \[y-y_{0} =f'\left(x_{0} \right)\left(x-x_{0} \right)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Написать уравнение касательной к графику функции y=x^{3} -2x^{2} +3x+1 в точке x_{0} =0.
Решение Найдем значение функции в точке x_{0} =0:

    \[y_{0} =f\left(x_{0} \right)=f\left(0\right)=0^{3} -2\cdot 0^{2} +3\cdot 0+1=1\]

Найдем значение производной в точке в заданной точке:

    \[y'=\left(x^{3} -2x^{2} +3x+1\right)^{{'} } =\left(x^{3} \right)^{{'} } -\left(2x^{2} \right)^{{'} } +\left(3x\right)^{{'} } +\left(1\right)^{{'} } =3x^{2} -4x+3+0=3x^{2} -4x+3\]

тогда

    \[y'\left(x_{0} \right)=y'\left(0\right)=3\cdot 0^{2} -4\cdot 0+3=3\]

Итак, искомое уравнение

    \[y-1=3\cdot \left(x-0\right)\Rightarrow y-1=3x\Rightarrow 3x-y+1=0\]

Ответ 3x-y+1=0
ПРИМЕР 2
Задание Найти абсциссы точек, в которых касательная к графику функции y=\frac{x^{4} }{4} -\frac{8x^{3} }{3} +\frac{15x^{2} }{2} параллельна оси Ox.
Решение Поскольку, согласно условию, касательная параллельна оси абсцисс, то угол между этой касательной и осью Ox равен \alpha =0^{\circ }. Следовательно, согласно геометрическому смыслу производной, можем сделать вывод, что

    \[{\rm tg}\; 0^{\circ } =y'\left(x_{0} \right)\Rightarrow y'\left(x_{0} \right)=0\]

Таким образом, необходимо найти такие значения x_{0}, в которых производная заданной функции равна нулю.

Найдем эту производную и приравняем к нулю:

    \[y'=\left(\frac{x^{4} }{4} -\frac{8x^{3} }{3} +\frac{15x^{2} }{2} \right)^{{'} } =\frac{4x^{3} }{4} -\frac{8\cdot 3x^{2} }{3} +\frac{15\cdot 2x}{2} =x^{3} -8x^{2} +15x;\]

    \[y'=0\Rightarrow x^{3} -8x^{2} +15x=0\Rightarrow x\left(x^{2} -8x+15\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} {x_{1} =0,} \\ {x_{2} =5,} \\ {x_{3} =3} \end{array}\right. \]

Ответ 0; 3; 5.
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.