Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение движения материальной точки

Определение и основные понятия движения материальной точки

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Движение материальной точки полностью задано, если указан однозначный закон изменения во времени t ее пространственных координат q_1,\ q_2,\ q_3 (декартовых, цилиндрических или каких-либо других:

    \[q_1=q_1\left(t\right),\ q_2=q_2\left(t\right),\ q_3=q_3\left(t\right)\ \left(1\right)\]

Эти выражения называют кинематическими уравнениями движения материальной точки.

Уравнение движения материальной точки

рис. 1

Они эквивалентны одному векторному кинематическому уравнению движения материальной точки:

    \[\overline{r}=\overline{r}\left(t\right)\left(2\right)\]

где \overline{r}— радиус вектор (рис. 1), соединяющий начало отсчета с движущейся точкой M (q_1,\ q_2,\ q_3). Если прямоугольные декартовы координаты материальной точки М равны x,y,z, то

    \[\overline{r}=x\overline{i}+y\overline{j}+z\overline{k},\ \left(3\right)\]

где \overline{i}\ ,\overline{j},\ \overline{k} – единичные векторы ( орты), совпадающие с положительными направлениями соответственно осей Ox, Oy, Oz, векторы x\overline{i},y\overline{j},\ z\overline{k} — составляющие вектора \overline{r} вдоль этих осей, x,y,z, — координаты ( компоненты) вектора \overline{r} в декартовой системе координат. Приращение \overline{dr} радиуса-вектора за малый промежуток времени dt – называют элементарным приращением перемещения точки.

Обозначение в механике производных по времени от радиуса-вектора \overline{r} и координат q_1,\ q_2,\ q_3 движущейся точки:

    \[\dot{\overline{r}}=\frac{d\overline{r}}{dt},\ \ddot{\overline{r}}=\frac{d^2r}{dt^2}\]

    \[\dot{q_i}=\frac{dq_i}{dt},\ddot{q_i}=\frac{d^2q_i}{dt^2}\]

Закон движения материальной точки

Закон движения можно представить иначе, чем (1) или (2): можно представить траекторию и координату материальной точки на траектории как расстояние до некоторой точки, принятой за начало координат. Одно из направлений отсчета расстояния (любое) принимают за положительное. Такое описание называется описанием в естественной форме (рис. 2.).

Закон движения материальной точки

рис. 2

И так, траекторией называют линию, описываемую движущейся точкой в пространстве. Чаще всего (но не обязательно) координату вдоль траектории обозначают буквой s. Длину участка по траектории между конечным и начальным положением материальной точки называют пройденным расстоянием или путем. При естественном описании движения S_i выступает в роли координаты. Уравнения вида:

    \[S_i=S_i \left(t\right),\ \ i=1,2,3\ (4)\]

называют уравнением траектории движения материальной точки в параметрическом виде.

Например, равноускоренное движение точки по заданной траектории описывается формулой:

    \[\overline{S}=\overline{S_0}+\overline{v_{0\tau }}t+\frac{\overline{a_{\tau }}t^2}{2\ }\ (5)\]

где \overline{a_{\tau }} так называемое касательное (тангенциальное) ускорение. Индекс обозначает проекцию вектора (\overline{v} или \overline{a}) на положительное направление отсчета координаты s (на единичный вектор, направленный по касательной к траектории), \overline{v_{0\tau }} — скорость материальной точки в начальный момент времени.

Динамические (дифференциальные) уравнения движения материальной точки

Помимо кинематических уравнений движения материальной точки существуют динамические (или дифференциальные) уравнения движения материальной точки. Уравнение вида:

    \[m \ddot{\overline{r}}=\overline{F}\ (6)\]

называется векторным дифференциальным уравнением движения материальной точки. \overline{F} – равнодействующая сила, приложенная к материальной точке.

Векторное дифференциальное уравнение эквивалентно трем скалярным дифференциальным уравнениям. Это проекции уравнения (6) на координатные оси:

    \[m\ddot{x}=F_x;\ m\ddot{y}=F_y;\ m\ddot{z}=F_z\ \left(7\right)\]

Уравнения (7) – дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовой системе координат. В этих уравнениях x, y, z – текущие координаты точки, F_x{\ F}_y\ F_z – проекции на координатные оси равнодействующих сил, приложенных к материальной точке.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в цилиндрической системе координат имеют вид:

    \[m\left(\ddot{\rho }-\rho {\dot{\varphi }}^2\right)=F_{\rho }, \]

    \[m\left(\rho \ddot{\varphi }-2\dot{\rho }\dot{\varphi }\right)=F_{\varphi }\ (8)\]

    \[m\ddot{z}=F_z\]

где F_{\rho },F_{\varphi}— проекции силы \overline{F} на направление прямой OM’ (рис. 3), (где М – движущаяся материальная точка массы m) и прямой, проведенной в плоскости xOy перпендикулярно к OM’ в направлении возрастания угла \varphi.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

рис. 3

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в сферической системе координат имеют вид:

    \[m\left(\ddot{\rho }-r{\dot{\varphi }}^2{\sin}^2\theta -r{\dot{\theta }}^2\right)=F_r\]

    \[m\left[\left(r\ddot{\varphi }+2\dot{\rho }\dot{\varphi }\right)\sin\theta +2r\dot{\varphi }\dot{\theta }\cos\theta \right]=F_{\varphi }\ \ \ \left(9\right)\]

    \[m\left(2\dot{\rho }\dot{\theta }+r\ddot{\theta }-r{\dot{\varphi }}^2\sin\theta \cos\theta \right)=F_{\theta }\]

где F_r— проекции силы \overline{F} на направление прямой OM ( рис. 4), F_{\varphi } — проекции силы \overline{F} на направление прямой, проведенной в плоскости xOy перпендикулярно к OM’ в направлении возрастания угла \varphi,\ F_{\theta }— проекции силы \overline{F} на направление прямой, проведенной в плоскости OMM’ перпендикулярно к OM в направлении возрастания угла \theta.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в сферической системе координат

рис. 4

В соприкасающейся плоскости (или в проекции на естественные оси) уравнение движения материальной точки в так называемой естественной форме имеет вид:

    \[m\dot{v}=F_T;\ m\frac{v^2}{\rho }=F_n;\ 0=F_{b}\ (10)\]

где v=\pm \left|\overline{v}\right| – проекция скорости на направление касательной, \rho— радиус кривизны траектории в текущем положении точки, F_T,\ F_n,\ F_b— проекции равнодействующей силы на касательную, главную нормаль и бинормаль траектории в текущем положении точки.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание По графику зависимости x(t) (рис. 5) построить график зависимости v(t).
Пример 1, Уравнение движения материальной точки

рис. 5

Решение На первом этапе решения, опишем каждый кусочек имеющегося графика аналитически.

Всего у нас 4 отрезка, следовательно, будет 4 формулы x(t).

Запишем уравнение прямой для отрезка I t\in \left[0,1\right]:

В общем виде имеем:

    \[ x(t)=at+b \]

Найдем коэффициенты a,b. Используем график: x(0)=0; x(1)=2. Следовательно b=0; a=2.

Первый отрезок I t\in \left[0,1\right] описывает уравнение движения материальной точки вида:

    \[x_I(t)=2t\]

Зная, что v=x, получим при t\in \left[0,1\right]\ v=2\frac{m}{c}.

Используя известное уравнение прямой и зная значение x на границах отрезка запишем уравнение прямой для отрезка II t\in \left[1,2\right]:

    \[x_{II}=-2t+4\]

Тогда для отрезка II t\in \left[1,2\right]:\ v_{II}=-2\frac{m}{c}.

Аналогично для третьего отрезка графика III t\in \left[2,4\right]:

    \[x_{III}=2t-4\]

Тогда для отрезка III t\in \left[2,4\right]:\ v_{III}=2\frac{m}{c}.

Для четвертого отрезка графика имеем t\in \left[4,\infty \right]:

x=4; v_{IV}=0\frac{m}{c}.

Построим график v(t), что и будет являться ответом к данной задаче:

Ответ На рисунке 6 представлен график v(t) соответствующий заданному графику x(t) рис. 5
Пример 2, Уравнение движения материальной точки

рис. 6

ПРИМЕР 2
Задание Материальная точка массы m движется в плоскости. Координаты материальной точки заданы уравнениями: x=A\sin (wt), y=A\cos (wt). Напишите закон изменения модуля результирующей силы F(t).
Решение Используем дифференциальные уравнения движения материальной точки:

    \[m\ddot{x}=F_x;\ m\ddot{y}=F_y\ (2.1)\]

Найдем первые, а затем вторые производные от координат по времени:

    \[\dot{x}=Aw\cos \left(wt\right),\ \ddot{x}=-Aw^2\cos (wt)\ (2.2)\]

    \[\dot{y}=-Aw\sin \left(wt\right),\ \ddot{y}=-Aw^2\cos (wt)\ (2.3)\]

    \[|F|=\sqrt{F^2_x+F^2_y}\ (2.4.)\]

Используем (2.1), (2.2) и (2.3) подставим в (2.4), получим:

    \[\left|F\right|=mAw\sqrt{{\sin}^2\left(wt\right)+{\cos}^2(wt)}=mAw\]

Ответ Модуль силы, действующий на материальную точку не зависит времени и равен \left|F\right|=mAw
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.