Решение уравнений

Определение и степень уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнением называется математическое равенство с одной или несколькими переменными.

Например. $x+3=0,\; x^{6} +y^{3} =-1$ .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Степенью уравнения одной переменной называется наибольший показатель степени переменной, входящей в уравнение.

ПРИМЕР 1

Задание	Определить степень уравнения $2x+3x^{3} -x^{2} =9$ .
Решение	Наибольшей степенью переменной $x$ является третья, поэтому заданное уравнение является уравнением третьей степени или кубическим уравнением.
Ответ	Уравнение третье степени.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Степенью уравнения нескольких переменных называется максимальная степень одночлена стандартного вида, входящего в это уравнение.

Например. Уравнение $2xy^{2} +3x^{3} y-x^{2} y^{5} =9xy$ является уравнением седьмой степени, поскольку максимальную — седьмую — степень имеет одночлен $x^{2} y^{5} :2+5=7$ .

Решение уравнения и его корни

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Решением или корнем уравнения называется такое значение неизвестной величины, при котором уравнение обращается в тождество.

ПРИМЕР 2

Задание

Проверить, являются ли числа 1 и 0 корнями уравнения $x^{2} +x=0$ .

Решение

Проверим, является ли значение неизвестной $x=1$ корнем заданного уравнения. Для этого подставляем указанное значение в уравнение:

$1^{2} +1=0\Rightarrow 2=0.$

Поскольку получили неверное равенство, то делаем вывод, что значение $x=1$ не является корнем.

Аналогично проверяем второе значение $x=0$ :

$0^{2} +0=0\Rightarrow 0\equiv 0.$

Получили тождество, а поэтому можем сделать вывод, что $x=0$ — корень уравнения $x^{2} +x=0$ .

Ответ

1 не является корнем, 0 — корень заданного уравнения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что они не существуют.

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

ЗАМЕЧАНИЕ

Уравнения, не имеющие корней, также равносильны.

Основные свойства уравнений

Если хотя бы в одной части уравнения выполнить тождественные преобразования, то в результате получим уравнение, равносильное заданному.
Например. $x+3-2=8\Leftrightarrow x+1=8$ .
Если из одной части уравнения перенести слагаемые в другую его часть, при этом изменив их знак на противоположный, то получим уравнение, равносильное заданному.
Например. $x^{2} -2=3\Leftrightarrow x^{2} =3+2$ .
Если обе части уравнения умножить или поделить на одно и тоже ненулевое число, то получим уравнение, равносильное данному.
Например. $\left. \frac{x}{2} +\frac{x}{3} =1\right|\times 6\Leftrightarrow 3x+2x=6$ .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Решение уравнений

Определение и степень уравнения

Решение уравнения и его корни

Основные свойства уравнений