Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Решение кубических уравнений

Определение и формула для решения кубических уравнений

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Кубическим уравнением или уравнением третьей степени называется уравнение вида

    \[ x^{3} +px^{2} +qx+r=0 \]

Пусть задано кубическое уравнение

    \[ x^{3} +px^{2} +qx+r=0 \ (1) \]

Если коэффициенты p,\; q,\; r — целые числа, то целые корни уравнения (1) ищутся среди делителей свободного коэффициента r. Когда один из корней x_{1} найден, то многочлен, стоящий в левой части уравнения (1), необходимо поделить на двучлен \left(x-x_{1} \right). Это можно сделать делением многочлена на многочлен столбиком.

Деление многочленов в столбик — это алгоритм деления многочлена f\left(x\right) на многочлен g\left(x\right), степень которого не превышает степени f\left(x\right). Алгоритм представляет собою аналог формы деления чисел столбиком.

Для произвольных многочленов f\left(x\right) и g\left(x\right)\ne 0 существуют единственные такие многочлены q\left(x\right) и r\left(x\right) (причем степень полинома r\left(x\right) меньше за степени многочлена g\left(x\right)), что

    \[ \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)} =q\left(x\right)+\frac{r\left(x\right)}{g\left(x\right)} \]

или

    \[ f\left(x\right)=q\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+r\left(x\right) \]

Деление проводится до тех пор, пока степень остатка r\left(x\right) будет меньшей степени делителя g\left(x\right).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Поделить многочлен f\left(x\right)=x^{3} -x^{2} -4x-6 на двучлен \left(x-3\right) столбиком.
Решение Запишем поэтапный ход деления. Делим старший элемент x^{3} делимого (слагаемое со старшей степенью) на старший элемент x делителя. То есть надо подобрать такой одночлен, что его произведение со старшим элементом делителя, то есть x, будет равно старшему элементу делимого, то есть x^{3}. Искомый одночлен равен x^{2}, записываем его в поле для частного:

Далее делитель умножаем на полученное частное (для этого каждое слагаемое делителя \left(x-3\right) умножаем на x^{2}), записываем результат под делимым так, чтобы каждая степень полученного после умножения выражения была записана под соответствующей степенью делимого:

Отнимаем многочлены:

Поскольку степень полученного остатка 2x^{2} -4x-6 больше степени делителя, то деление продолжаем. Теперь подбираем одночлен, на который нужно умножить делитель \left(x-3\right), чтобы получить в результате старшее слагаемое остатка 2x^{2}. Таким одночленом является 2x, его записываем в поле для частного к записанному уже там значению x^{2}:

Умножаем делитель на указанный одночлен, результат записываем под остатком и вычитаем от него:

Степень полученного остатка \left(2x-6\right) равна степени делителя (а должна быть строго меньше, чтобы процесс деления закончился), поэтому деление продолжаем.

Чтобы получить выражение 2x-6, делитель \left(x-3\right) нужно умножить на 2 (записываем это слагаемое в частное со знаком плюс), а результат этого умножения записываем под последним остатком и вычитаем от него. В результате получаем остаток, равный нулю. Деление закончено.

Итак, полное оформление деления многочлена на многочлен столбиком имеет следующий вид:

В результате деления можем сделать следующие выводы:

1) поскольку остаток равен нулю, то значение x=3 — корень многочлена f\left(x\right);

2) многочлен f\left(x\right) можно записать в виде:

    \[f\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x^{2} +2x+2\right)\]

Ответ \frac{x^{3} -x^{2} -4x-6}{x-3} =x^{2} +2x+2

Еще один способ решения кубических уравнений покажем на следующем примере.

ПРИМЕР 2
Задание Решить уравнение 2x^{3} -3x^{2} -3x+2=0.
Решение Для данного уравнения степень n=3, старший коэффициент a_{n} =a_{3} =2. Умножаем левую и правую части заданного уравнения на a_{n}^{n-1} =a_{3}^{2} =2^{2}:

    \[2\cdot 2^{2} \cdot x^{3} -3\cdot 2^{2} \cdot x^{2} -3\cdot 2^{2} \cdot x+2\cdot 2^{2} =0\]

    \[2^{3} \cdot x^{3} -3\cdot \left(2x\right)^{2} -3\cdot 2\cdot 2\cdot x+8=0\]

    \[\left(2x\right)^{3} -3\cdot \left(2x\right)^{2} -6\cdot \left(2x\right)+8=0\]

После замены 2x=t последнее уравнение принимает вид:

    \[t^{3} -3t^{2} -6t+8=0\]

Целые корни этого уравнения ищем среди делителей свободного коэффициента 8: \pm 1,\; \pm 2,\; \pm 4,\; \pm 8. Один из корней найдем подбором, для этого будем подставлять указанные значения в левую часть решаемого уравнения:

    \[t=1:1^{3} -3\cdot 1^{2} -6\cdot 1+8=0\Rightarrow 0=0\]

То есть первый корень найден: t_{1} =1. Поделим далее многочлен t^{3} -3t^{2} -6t+8 на двучлен \left(t-1\right) уголком:

Итак,

    \[t^{3} -3t^{2} -6t+8=\left(t-1\right)\left(t^{2} -2t-8\right)=0\]

Приравниваем к нулю вторую скобку:

    \[t^{2} -2t-8=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l} {t_{2} =4,} \\ {t_{3} =-2.} \end{array}\right \]

То есть имеем три корня t_{1} =1,\; t_{2} =4,\; t_{3} =-2.

Делаем обратную замену:

    \[2x=1\Rightarrow x_{1} =\frac{1}{2}\]

    \[2x=4\Rightarrow x_{2} =2\]

    \[2x=-2\Rightarrow x_{3} =-1\]

Ответ x_{1} =\frac{1}{2} ,\; x_{2} =2,\; x_{3} =-1
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.