Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

    \[F\left(x;\; y;\; y';\; y''\right)=0\]

Решение простых дифференциальных уравнений второго порядка

Дифференциальные уравнения второго порядка вида

    \[y''=f\left(x\right)\]

решаются двукратным интегрированием.

ПРИМЕР
Задание Найти решение дифференциального уравнения y''=x
Решение Проинтегрируем левую и правую части заданного уравнения:

    \[\int y''dx =\int xdx \Rightarrow \]

    \[\Rightarrow y'=\frac{x^{2} }{2} +C_{1} \]

После второго интегрирования, окончательно получаем, что искомое решение

    \[y\left(x\right)=\int \left(\frac{x^{2} }{2} +C_{1} \right)dx =\frac{1}{2} \int x^{2} dx +C_{1} \int dx =\frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3} }{3} +C_{1} x+C_{2} =\frac{x^{3} }{6} +C_{1} x+C_{2} \]

Ответ y\left(x\right)=\frac{x^{3} }{6} +C_{1} x+C_{2}

Решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

    \[y''+a_{1} y'+a_{0} y=0 \qquad (1)\]

Здесь коэффициенты a_{0} ,\; a_{1} – постоянные действительные числа. Решение этого уравнения будем искать в виде

    \[y\left(x\right)=e^{kx} \qquad (2)\]

Подставим эту функцию в уравнение (1):

    \[y\left(x\right)=e^{kx} \Rightarrow y'=ke^{kx} \Rightarrow y''=k^{2} e^{kx} \Rightarrow \]

    \[k^{2} e^{kx} +a_{1} ke^{kx} +a_{0} e^{kx} =0\]

Поскольку e^{kx} >0, то функция (2) будет решением линейного однородного уравнения тогда и только тогда, когда будет выполняться равенство

    \[k^{2} +a_{1} k+a_{0} =0 \qquad (3)\]

Уравнение (3) называется характеристическим уравнением линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1). А многочлен n-й степени f\left(x\right)=k^{2} +a_{1} k+a_{0} называется характеристическим многочленом этого уравнения.

Замечание. Корни характеристического уравнения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами могут быть как действительными, так и комплексными (простыми и кратными) числами.

ТЕОРЕМА
Теорема Эйлера. Для того чтобы функция y\left(x\right)=e^{k_{i} x} была решением однородного дифференциального уравнения y''+a_{1} y'+a_{0} y=0, необходимо и достаточно, чтобы число k_{i} было корнем характеристического уравнения k^{2} +a_{1} k+a_{0} =0.

Утверждение 1. Если числа k_{1} \ne k_{2} – различные действительные корни характеристического уравнения (3) линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (1), то функции e^{k_{1} x} ,\; e^{k_{2} x} образуют фундаментальную систему решений этого уравнения и общее решение уравнения имеет вид:

    \[y\left(x\right)=C_{1} e^{k_{1} x} +C_{2} e^{k_{2} x} \]

Утверждение 2. Если k_{1} =k_{2} =k – действительный корень характеристического уравнения кратности два, то функции e^{kx} ,\; xe^{kx} – фундаментальная система решений уравнения (1), общее решение этого уравнения имеет вид:

    \[y\left(x\right)=C_{1} e^{kx} +C_{2} xe^{kx} =\left(C_{1} +C_{2} x\right)e^{kx} \]

Утверждение 3. Если k_{1,\, 2} =\alpha \pm \beta i – комплексно сопряженные корни характеристического уравнения (3), которое соответствует однородному дифференциальному уравнению второго порядка (1), то функции e^{\alpha x} \cos \beta x,\; e^{\alpha x} \sin \beta x образуют фундаментальную систему решений этого уравнение и общее решение записывается в виде:

    \[y\left(x\right)=C_{1} e^{\alpha x} \cos \beta x+C_{2} e^{\alpha x} \sin \beta x=e^{\alpha x} \left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right)\]

ПРИМЕР
Задание Найти решение однородного дифференциального уравнения

    \[y''-8y'+16y=0\]

Решение Решение заданного уравнения ищем в виде:

    \[y\left(x\right)=e^{kx} \]

Подставляем эту функцию в заданное уравнение. Для этого предварительно найдем производные первого и второго порядков:

    \[y'\left(x\right)=\left(e^{kx} \right)^{{'} } =ke^{kx} , y''\left(x\right)=\left(y'\left(x\right)\right)^{{'} } =\left(ke^{kx} \right)^{{'} } =k\cdot \left(e^{kx} \right)^{{'} } =k\cdot ke^{kx} =k^{2} e^{kx} \]

тогда исходное уравнение принимает вид:

    \[k^{2} e^{kx} -8\cdot ke^{kx} +16e^{kx} =0\]

После деления на e^{kx} >0 получим характеристическое уравнение

    \[k^{2} -8k+16=0\]

решение которого

    \[k^{2} -2\cdot k\cdot 4+4^{2} =0\Rightarrow \left(k-4\right)^{2} =0\Rightarrow k_{1,\, 2} =4\]

Корни характеристического уравнения – это два действительных числа (то есть имеем корень кратности два). Тогда фундаментальную систему решений заданного дифференциального уравнения, согласно утверждению 2, образуют функции

    \[y_{1} \left(x\right)=e^{4x} ,\; y_{2} \left(x\right)=xe^{4x} \]

Общее решение однородного дифференциального уравнения представляет собой сумму фундаментальных решений, а именно:

    \[y\left(x\right)=C_{1} y_{1} \left(x\right)+C_{2} y_{2} \left(x\right)=C_{1} e^{4x} +C_{2} xe^{4x} =\left(C_{1} +C_{2} x\right)e^{4x} \]

Ответ y\left(x\right)=\left(C_{1} +C_{2} x\right)e^{4x}

Решение линейных неоднородных ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка

    \[y''+a_{1} y'+a_{0} y=f\left(x\right) \qquad (4)\]

Коэффициенты a_{0} ,\; a_{1} – некоторые действительные числа, f\left(x\right) – непрерывная на отрезке \left[a:\; b\right] функция, называемая правой частью неоднородного дифференциального уравнения (4).

Общее решение этого уравнения имеет вид

    \[y\left(x\right)=C_{1} y_{1} \left(x\right)+C_{2} y_{2} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)\]

где C_{1} ,\; C_{2} – произвольные постоянные, y_{1} \left(x\right),\; y_{2} \left(x\right) – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения (1), y_{chastn} \left(x\right) – частное решение неоднородного уравнения (4).

Частное решение y_{chastn} \left(x\right) можно найти методом подбора (или методом неопределенных коэффициентов) в случае, если правая часть уравнения есть одной из функций вида

    \[f\left(x\right)=P_{n} \left(x\right)e^{ax} \qquad (5)\]

или

    \[f\left(x\right)=e^{\alpha x} \left[Q_{m} \left(x\right)\cos \beta x+R_{n} \left(x\right)\sin \beta x\right] \qquad (6)\]

Здесь P_{n} \left(x\right),\; R_{n} \left(x\right) – заданные многочлены степени n, Q_{m} \left(x\right) – известный многочлен степени m, a,\; \alpha ,\; \beta – некоторые действительные числа.

Метод подбора нахождения частного решения линейного неоднородного уравнения (4) с функцией вида (5), (6) в правой части состоит в том, что частное решение уравнения ищут в виде

    \[y_{chastn} \left(x\right)=e^{ax} P'_{n} \left(x\right)\cdot x^{s} \qquad (7)\]

P'_{n} \left(x\right) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами, s=0 при a, которое не является корнем характеристического многочлена, или s кратности a, где a — корень характеристического многочлена.

или

    \[y_{chastn} \left(x\right)=e^{\alpha x} \left[Q'_{k} \left(x\right)\cos \beta x+R'_{k} \left(x\right)\sin \beta x\right]\cdot x^{s} \]

k=\max \left\{m,\; n\right\}, \quad M'_{k} \left(x\right),\; N'_{k} \left(x\right) – многочлены степени k с неопределенными коэффициентами, s=0 (\alpha \pm \beta i не является корнем характеристического многочлена), или s кратности \alpha \pm \beta i,\ \alpha \pm \beta i — корень характеристического многочлена.

соответственно.

Принцип суперпозиции. Если функция y_{chastn\ k} \left(x\right) – решение линейного дифференциального уравнения

    \[y''+a_{1} y'+a_{0} y=f_{k} \left(x\right),\; k=1;\; 2;...;\; m\]

то тогда функция

    \[y_{chastn} \left(x\right)=\sum _{k=1}^{m}y_{chastn\; k} \left(x\right) =y_{chastn\; 1} \left(x\right)+y_{chastn\; 2} \left(x\right)+...+y_{chastn\; m} \left(x\right)\]

есть решением уравнения

    \[y''+a_{1} y'+a_{0} y=\sum _{k=1}^{m}f_{k} \left(x\right) \]

или

    \[y''+a_{1} y'+a_{0} y=f_{1} \left(x\right)+f_{2} \left(x\right)+...+f_{m} \left(x\right)\]

ЗАМЕЧАНИЕ
Замечание. Если правая часть функция f\left(x\right) уравнения (4) имеет вид, отличный от (5) или (6), то для решения уравнения (4) зачастую применяю метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа).
ПРИМЕР
Задание Найти решение дифференциального уравнения y''-4y'+5y=e^{2x} +x^{2}
Решение Вначале найдем решение соответствующего однородного дифференциального уравнения y''-4y'+5y=0. Его решение ищем в виде

    \[y\left(x\right)=e^{kx} \]

Подставляем в однородное уравнение:

    \[\left(e^{kx} \right)^{{''} } -4\cdot \left(e^{kx} \right)^{{'} } +5\cdot e^{kx} =0\Rightarrow k^{2} e^{kx} -4ke^{kx} +5e^{kx} =0\Rightarrow k^{2} -4k+5=0\]

Решаем полученное характеристическое уравнение:

    \[D=\left(-4\right)^{2} -4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4=\left(2i\right)^{2} \Rightarrow k_{1,\, 2} =\frac{4\pm 2i}{2} =2\pm i\]

Таким образом, корнями характеристического уравнения являются комплексно сопряженные числа. Тогда фундаментальная система решений однородного дифференциального уравнения представляет собой две функции:

    \[y_{1} \left(x\right)=e^{2x} \cos x,\; y_{2} \left(x\right)=e^{2x} \sin x\]

А тогда общее решение однородного дифференциального уравнения представляет собой линейную комбинацию фундаментальных решений:

    \[y_{odn} \left(x\right)=C_{1} y_{1} \left(x\right)+C_{2} y_{2} \left(x\right)=C_{1} e^{2x} \cos x+C_{2} e^{2x} \sin x=\left(C_{1} \cos x+C_{2} \sin x\right)e^{2x} \]

Правая часть заданного неоднородного дифференциального уравнения представляет собой сумму двух функций f_{1} \left(x\right)=e^{2x} и f_{2} \left(x\right)=x^{2} вида (5). Поэтому, согласно принципу суперпозиции, частное решение

    \[y_{chastn} \left(x\right)=y_{chastn1} \left(x\right)+y_{chastn2} \left(x\right)\]

где y_{chastn1} \left(x\right),\; y_{chastn2} \left(x\right) – частные решения, соответствующие функциям f_{1} \left(x\right) и f_{2} \left(x\right) соответственно. Их структура будет определяться равенством (7).

Функция y_{chastn1} \left(x\right) соответствует неоднородному дифференциальному уравнению y''-4y'+5y=e^{2x}. Ее будем искать в виде

    \[y_{chastn1} \left(x\right)=Ae^{2x} \]

После подстановки в уравнение получаем:

    \[4Ae^{2x} -8Ae^{2x} +5Ae^{2x} =e^{2x} \Rightarrow Ae^{2x} =e^{2x} \Rightarrow A=1\]

То есть y_{chastn1} \left(x\right)=e^{2x}.

Вторая функция y_{chastn2} \left(x\right) есть решение уравнения y''-4y'+5y=x^{2}. Ее ищем по виду правой части:

    \[y_{chastn2} \left(x\right)=Ax^{2} +Bx+C\]

После подстановки в соответствующее уравнение будем иметь:

    \[2A-4\cdot \left(2Ax+B\right)+5\cdot \left(Ax^{2} +Bx+C\right)=x^{2} \]

Приравниваем коэффициенты при соответствующих степенях независимой переменной:

    \[\left\{\begin{array}{l} {5A=1,} \\ {-8A+5B=0,} \\ {2A-4B+5C=0} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} {A=\frac{1}{5} ,} \\ {B=\frac{8}{25} ,} \\ {C=\frac{22}{125} .} \end{array}\right. \]

А тогда

    \[y_{chastn2} \left(x\right)=\frac{x^{2} }{5} +\frac{8x}{25} +\frac{22}{125} =\frac{25x^{2} +40x+22}{125} \]

Общее решение исходного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка

    \[y\left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{chastn} \left(x\right)=y_{odn} \left(x\right)+y_{chastn1} \left(x\right)+y_{chastn2} \left(x\right)=\]

    \[=\left(C_{1} \cos x+C_{2} \sin x\right)e^{2x} +e^{2x} +\frac{25x^{2} +40x+22}{125} =\]

    \[=\left(C_{1} \cos x+C_{2} \sin x+1\right)e^{2x} +\frac{25x^{2} +40x+22}{125} \]

Ответ y\left(x\right)=\left(C_{1} \cos x+C_{2} \sin x+1\right)e^{2x} +\frac{25x^{2} +40x+22}{125}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.