Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Уравнение Лапласа

Определение и формула уравнения Лапласа

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Дифференциальное уравнение в частных производных вида:

    \[\Delta =\frac{{\partial }^2f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2f}{\partial z^2}=0 \qquad (1)\]

называется уравнением Лапласа в декартовых координатах.

Оно является частным случаем уравнения Гельмгольца. Может рассматриваться в трехмерном (1), двумерном (2), одномерном и n – мерном пространствах:

    \[\frac{{\partial }^2f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2f}{\partial y^2}=0 \qquad (2)\]

    \[\frac{d^2f}{dx^2}=0 \qquad (3)\]

    \[\Delta f=0  \qquad (4)\]

Оператор \Delta =\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial z^2}+\dots называется оператором Лапласа (Оператор Лапласа эквивалентен последовательному взятию операций градиента и дивергенции.).

Решение уравнения Лапласа

Решениями уравнения Лапласа являются гармонические функции.

Уравнение Лапласа относится к эллиптическим уравнениям. Неоднородное уравнение Лапласа становится уравнением Пуассона.

Каждое решение уравнения Лапласа в ограниченной области G однозначно выделяется краевыми условиями, накладываемыми на поведение решения (или его производных) на границе \partial G области G. Если решение отыскивается во всём пространстве R^n, краевые условия сводятся к предписанию некоторой асимптотики для f при x_1, \dots , x_n. Задача о нахождении таких решений называется краевой задачей. Чаще всего встречаются задача Дирихле, когда на границе задано значение самой функции f, и задача Немана, когда задано значение производной f по нормали к границе.

Уравнение Лапласа в сферических, полярных и цилиндрических координатах

Уравнение Лапласа можно записать не только в декартовых координатах.

В сферических координатах (r,\varphi ,\theta ) уравнение Лапласа имеет следующий вид:

    \[\frac{1}{r^2}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta \partial\theta }\left(\sin\theta \cdot \frac{\partial f}{\partial \theta }\right)+\frac{{\partial }^2f}{r^2{\sin}^2\theta \partial{\varphi }^2}=0   \qquad (5)\]

В полярных координатах (r,\varphi ) система координат уравнение имеет вид:

    \[\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^2f}{r^2\partial {\varphi }^2}=0 \qquad  \qquad (6)\]

В цилиндрических координатах (r,\varphi ,z) уравнение имеет вид:

    \[\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{{\partial }^2f}{\partial z^2}+\frac{{\partial }^2f}{r^2\partial {\varphi }^2}=0 \qquad  \qquad (7)\]

К уравнению Лапласа приводят многие задачи физики и механики, в которых физическая величина является функцией только координат точки. Так, уравнение Лапласа описывает потенциал сил тяготения в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал электростатического поля – в области, не содержащей зарядов, температуру при стационарных процессах и т. д. Большое количество инженерных задач, связанных, в частности, с медленным стационарным обтеканием корпуса корабля, стационарной фильтрацией подземных вод, возникновением поля вокруг электромагнита, а также стационарного электрического поля в окрестности фарфорового изолятора или заглубленного в землю электрического кабеля переменного поперечного сечения, сводится к решению трехмерных уравнений Лапласа или Пуассона. Большое значение оператор Лапласа играет в квантовой механике.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Найдите поле между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами r_1 и r_2, разность потенциалов между которыми равна \Delta U.
Уравнение Лапласа

рис. 1.

Решение Запишем уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом аксиальной симметрии:

    \[\frac{1}{r}\cdot \frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial \varphi }{\partial r}\right)=0\qquad (1.1)\]

Оно имеет решение \varphi =-A \text{ln} (r)+B. Выберем нулевой потенциал на наружном цилиндре, найдем, получим:

\varphi \left(r_2\right)=0=-A \text{ln} r_2+B, следовательно

    \[B=A \text{ln} r_2\]

\varphi \left(r_1\right)=\Delta U=-A \text{ln} r_1+B, получим:

    \[A=\frac{\Delta U}{{\ \text{ln}  \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }}\]

В результате имеем: \varphi (r)=-\frac{\Delta U}{{ \text{ln}  \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }} \text{ln} \left(r\right)+\frac{\Delta U}{{ \text{ln}  \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }} \text{ln} r_2

Ответ Поле между двумя коаксиальными цилиндрами задается функцией

    \[ \varphi (r)=-\frac{\Delta U}{{ \text{ln}  \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }} \text{ln} \left(r\right)+\frac{\Delta U}{{ \text{ln}  \left(\frac{r_2}{r_1}\right)\ }} \text{ln} r_2 \]

ПРИМЕР 2
Задание Исследовать устойчивость равновесия положительно заряженной частицы в электрическом поле (теорема Ирншоу).
Решение Поместим начало координат в положение равновесия частицы. При этом можно считать, что потенциал представляется в виде:

    \[\varphi \left(x,y,z\right)\approx \frac{1}{2}\left(\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}x^2+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}y^2+\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}z^2\right)\]

где все производные берутся в точке равновесия. Для устойчивости положительного заряда, необходимо, чтобы потенциальная энергия возрастала по любому из направлений, т.е. вторые производные от \varphi по координатам были больше 0 (\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}>0,\ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}>0,\ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}>0). Но это противоречит уравнению Лапласа \Delta \varphi =0. Если \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x^2}=\ \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y^2}=\ \frac{{\partial }^2\varphi }{\partial z^2}=0, нужно учесть следующие члены разложения \varphi . Можно показать, что и в этом случае устойчивое равновесие невозможно.