Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Главная Справочник Логарифмы Решение логарифмов

Решение логарифмов

Определение и формулы для решения логарифмов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Решить логарифм $\log _{a} b,\; a,\, b>0,\; a\ne 1$ — это означает, что нужно указать такую степень, в которую надо возвести основание логарифма $a$ , чтобы получилось значение $b$ .

ПРИМЕР 1

Задание

Решить логарифм $\log _{2} 4$

Решение

Чтобы решить указанный логарифм, надо указать такую степень $x$ , в которую надо возвести основание 2 заданного логарифма, чтобы получить в результате подлогарифмическое выражение 4, то есть имеем уравнение

$2^{x} =4$

Полученное показательное уравнение решим методом приведения к общему основанию:

$2^{x} =2^{2} \Rightarrow x=2$

Итак, $\log _{2} 4=2$ .

Ответ

$\log _{2} 4=2$

Однако, под «решением логарифмов» понимается не только вычисление логарифмов, но и также различного рода преобразования над ними с использованием свойств логарифмов.

Свойства логарифмов

1. Основное логарифмическое тождество: $a^{\log _{a} b} =b$ .

2. $\log _{a} a=1$ .

3. $\log _{a} 1=0$ .

4. $\log _{a} \left(b\cdot c\right)=\log _{a} b+\log _{a} c$ .

5. $\log _{a} \frac{b}{c} =\log _{a} b-\log _{a} c$ .

6. $\log _{a} b^{n} =n\log _{a} b$ .

7. $\log _{a^{n} } b=\frac{1}{n} \log _{a} b$ .

8. $\log _{a^{n} } b^{m} =\frac{m}{n} \log _{a} b$ .

9. $\log _{a^{n} } b^{n} =\log _{a} b$ .

10. Переход к новому основанию: $\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}$ .

11. $\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}$ .

Замечание. Свойства справедливы как слева направо, так и справа налево.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 2

Задание

Решить логарифмы $\log _{14} 28-\log _{14} 2+9^{\log _{3} 2}$

Решение

Разность логарифмов $\log _{14} 28-\log _{14} 2$ , согласно свойству 5, преобразуем в логарифм частного:

$\log _{14} 28-\log _{14} 2=\log _{14} \frac{28}{2} =\log _{14} 14;$

по свойству 3 последнее равно единице:

$\log _{14} 28-\log _{14} 2=\log _{14} 14=1$

Преобразуем последнее слагаемое:

$9^{\log _{3} 2} =\left(3^{2} \right)^{\log _{3} 2} =\left(3^{\log _{3} 2} \right)^{2}$

Выражение, стоящее в скобках, по основному логарифмическому тождеству равно 2, тогда

$9^{\log _{3} 2} =2^{2} =4$

Таким образом, окончательно имеем:

$\log _{14} 28-\log _{14} 2+9^{\log _{3} 2} =1+4=5$

Ответ

$\log _{14} 28-\log _{14} 2+9^{\log _{3} 2} = 5$

© SolverBook - онлайн сервисы для учебы, 2015

Копирование материалов с сайта возможно только с разрешения
администрации портала и при наличие активной ссылки на источник.

Почта для связи: info@ru.solverbook.com

Выберите язык:

Сервисы

SolverBook