Логарифмы

Определение и основные понятия логарифмов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Логарифмом числа $b$ по основанию $a$ называется такое число $c$ , при котором имеет место равенство $b=a^{c}$ :

$\log _{a} b=c\Leftrightarrow b=a^{c}$ , причем $a>0,\; a\ne 1,\; b>0$ .

Число $a$ называется основанием логарифма, а $b$ — подлогарифмической функцией.

Например. $\log _{2} 4=2$ , поскольку $4=2^{2}$ .

В 8 веке индийский математик Вирасена (792-853), исследуя степенные зависимости, опубликовал фактически таблицу логарифмов (целочисленных показателей) для оснований 2, 3, 4. Дальнейшее развитие теория логарифмов получила в средневековой Европе, где была выдвинута идея замены трудоемкого умножения на простое сложение. Впервые эта идея увидела свет в книге «Arithmetica integra» (1544) немецкого математика Михаэля Штифеля (1487-1567). В 1614 году шотландский математик Джон Непер (1560-1617) опубликовал сочинение «Описание удивительной таблицы логарифмов», в котором ввел термин «логарифм», а также описал его свойства. Общепринятого обозначения логарифма не было до конца 19 века, хотя специальные обозначения для натурального и десятичного логарифмов появились значительно ранее.

Натуральный логарифм $\ln b$ — логарифм по основанию $e$ :

$\ln b=\log _{e} b$

Десятичный логарифм $\lg b$ — логарифм по основанию 10:

$\lg b=\log _{10} b$

Свойства логарифмов

Следующие свойства приведены для произвольных величин $a,\; b,\; c$ , при которых логарифм существует.

Основное логарифмическое тождество:
$a^{\log _{a} b} =b$

Например. $2^{\log _{2} 13} =13$ .
Если основание логарифма и подлогарифмическая функция равны, то логарифм равен единице:
$\log _{a} a=1$

Например. $\log _{\pi } \pi =1$ .
Логарифм по любому основанию от единицы равен нулю:
$\log _{a} 1=0$

Например. $\log _{13} 1=0$ .
Логарифм произведения равен сумме логарифмов от каждого из сомножителей:
$\log _{a} \left(b\cdot c\right)=\log _{a} b+\log _{a} c$

Например. $\log _{2} 4+\log _{2} 8=\log _{2} \left(4\cdot 8\right)=\log _{2} 32=5$ .
Логарифм частного равен разности логарифмов от делимого и делителя соответственно:
$\log _{a} \frac{b}{c} =\log _{a} b-\log _{a} c$

Например. $\log _{6} 12-\log _{6} 2=\log _{6} \frac{12}{2} =\log _{6} 6=1$ .
$\log _{a} b^{n} =n\log _{a} b$ .
Например. $\log _{2} 32=\log _{2} 2^{5} =5\cdot \log _{2} 2=5\cdot 1=5$ .
$\log _{a^{n} } b=\frac{1}{n} \log _{a} b$ .
Например. $\log _{4} 2=\log _{2^{2} } 2=\frac{1}{2} \log _{2} 2=\frac{1}{2} \cdot 1=\frac{1}{2}$ .
$\log _{a^{n} } b^{m} =\frac{m}{n} \log _{a} b$ .
Например. $\log _{16} 64=\log _{4^{2} } 4^{3} =\frac{3}{2} \log _{4} 4=\frac{3}{2} \cdot 1=\frac{3}{2}$ .
$\log _{a^{n} } b^{n} =\log _{a} b$ .
Например. $\log _{16} 25=\log _{4^{2} } 5^{2} =\frac{2}{2} \log _{4} 5=1\cdot \log _{4} 5=\log _{4} 5$ .
Переход к новому основанию:
$\log _{a} b=\frac{\log _{c} b}{\log _{c} a}$

Например. $\log _{6} 7=\frac{\ln 7}{\ln 6}$ .
$\log _{a} b=\frac{1}{\log _{b} a}$ .
Например. $\log _{3} 2=\frac{1}{\log _{2} 3}$ .

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Логарифмы

Определение и основные понятия логарифмов

Свойства логарифмов