Область определения логарифма

Определения и понятие области определения логарифма

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Логарифмом $\log _{a} b$ по основанию $a>0,\; a\ne 1$ от числа $b>0$ называется такое число $c$ , что имеет место следующее равенство:

$x=a^{c}$

Логарифмической функцией называется функция $y=\log _{a} x,\; a,\, x>0,\; a\ne 1$ .

Область определения функции $D\left(y\right)$ — это множество, на котором задаётся функция $y=f\left(x\right)$ , причем в каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.

Областью определения логарифмической функции есть любое действительное положительное число, то есть

$D\left(\log _{a} x\right):x\in \left(0;\; +\infty \right)$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Найти область определения функции $y=\log _{\pi } \left(2x-4\right)$

Решение

Область определения заданной функции задается следующим неравенством:

$2x-4>0$

Решим это линейное неравенство:

$2x>4\Rightarrow x>2\Rightarrow x\in \left(2;\; +\infty \right)$

Таким образом, $D\left(y\right):x\in \left(2;\; +\infty \right)$ .

Ответ

$D\left(y\right):x\in \left(2;\; +\infty \right)$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти область определения функции $y=\log _{2} \left(\left(x-1\right)\left(x+5\right)\right)$

Решение

Логарифм определен, если подлогарифмическая функция является положительной, то есть искомая область определения

$D\left(y\right):\left(x-1\right)\left(x+5\right)>0$

Решим полученное неравенство $\left(x-1\right)\left(x+5\right)>0$ методом интервалов. Для этого находим нули каждого из сомножителей:

$\begin{array}{c} {x-1=0\Rightarrow x=1,} \\ {x+5=0\Rightarrow x=-5,} \end{array}$

наносим их на координатную прямую и определяем знак неравенства на каждом из полученных промежутков:

Поскольку решаем неравенство со знаком « $>$ », то оставляем промежутки со знаком «+», то есть

$D\left(y\right):x\in \left(-\infty ;\; -5\right)\bigcup \left(1;\; +\infty \right)$

Ответ

$x\in \left(-\infty ;\; -5\right)\bigcup \left(1;\; +\infty \right)$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Область определения логарифма

Определения и понятие области определения логарифма

Примеры решения задач