Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Логарифмическая функция

Определение и формулы логарифмической функции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Логарифмической функцией называется функция y=\log _{a} x,\; a,\, x>0,\; a\ne 1.

Замечание. Показательная y=a^{x} и логарифмическая y=\log _{a} x функции являются взаимно обратными. Их графики симметричны относительно прямой y=x — биссектрисы первой и третьей координатных четвертей.

Свойства логарифмической функции

1) Область определения: D\left(y\right):x\in \left(0;\; +\infty \right).

2) Множество значений: E\left(y\right):y\in \left(-\infty ;\; +\infty \right).

3) Четность/нечетность: функция общего вида.

4) Период: функция непериодическая.

5) Точки пересечения графика функции с координатными осями:

  • с осью абсцисс: точка A\left(1;\; 0\right);
  • с осью ординат точек пересечения нет.

6) Промежутки знакопостоянства:

  • 0<a<1: y>0 для x\in \left(0;\; 1\right) и y<0 для x\in \left(1;\; +\infty \right);
  • a>1:y>0 для x\in \left(1;\; +\infty \right) и y<0 для x\in \left(0;\; 1\right).

7) Монотонность:

  • 0<a<1: функция убывает для любого x\in D\left(y\right);
  • a>1: функция возрастает для любого x\in D\left(y\right).

8) Точек минимума/максимума нет.

9) График

График логарифмической функции

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Среди приведенных функций а)-в) указать убывающие:

а) y=\log _{\pi } \left(x+2\right); б) y=\log _{0,5} x^{3}; в) y=\log _{\sqrt{2} -1} x

Решение Согласно свойствам логарифмической функции, такая функция является убывающей, если ее основание a удовлетворяет условию 0<a<1, и возрастает для a>1:

а) для данной функции основание a=\pi \approx 3,14>1, то есть первая функция является строго возрастающей;

б) a=0,5<1, то есть функция убывает;

в) a=\sqrt{2} -1\approx 1,4-1=0,4<1, следовательно, и эта функция является убывающей.

Ответ б), в).
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.