Точка пересечения биссектрис треугольника

Определение и точка пересечения биссектрис треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Биссектриса угла – это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Точка пересечения биссектрис треугольника

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам:

Первая замечательная точка треугольника – точка пересечения биссектрис. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности и всегда находится внутри треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В треугольнике $ABC$ с $\angle B=56^{\circ}$ провели биссектрисы $AA_{1}$ и $CC_{1}$ , которые пересеклись в точке $O$ . Найти $\angle AOC$ .

Пример 1, точка пересечения биссектрис треугольника

Решение

Поскольку $\angle B=56^{\circ}$ , то

$\angle BAC+\angle BCA=180^{\circ} -56^{\circ} =124^{\circ}$

Так как $AA_{1}$ и $CC_{1}$ – биссектрисы, то

$\angle OAC=\frac{1}{2} \angle BAC,\ \angle OCA=\frac{1}{2} \angle BCA$

Из треугольника $AOC$ выразим $\angle AOC$ :

$\angle AOC=180^{\circ} -\angle OAC-\angle OCA=180^{\circ} -\frac{1}{2} (\angle BAC+\angle BCA)=180^{\circ} -62^{\circ} =118^{\circ}$

Ответ

$\angle AOC=118^{\circ}$

ПРИМЕР 2

Задание

В треугольнике $ABC$ провели биссектрисы $AK,\ BN$ и $CL$ , которые пересекаются в точке $O$ . Биссектриса $AK$ точкой пересечения делится в отношении 4:3, считая от вершины. Найти периметр треугольника $ABC$ , если $BC=24$ см.