Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Точка пересечения биссектрис треугольника

Определение и точка пересечения биссектрис треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Биссектриса угла – это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Точка пересечения биссектрис треугольника

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам:

Первая замечательная точка треугольника – точка пересечения биссектрис. Точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности и всегда находится внутри треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике ABC с \angle B=56^{\circ} провели биссектрисы AA_{1} и CC_{1}, которые пересеклись в точке O. Найти \angle AOC.
Пример 1, точка пересечения биссектрис треугольника
Решение Поскольку \angle B=56^{\circ}, то

    \[\angle BAC+\angle BCA=180^{\circ} -56^{\circ} =124^{\circ} \]

Так как AA_{1} и CC_{1} – биссектрисы, то

    \[\angle OAC=\frac{1}{2} \angle BAC,\ \angle OCA=\frac{1}{2} \angle BCA\]

Из треугольника AOC выразим \angle AOC:

    \[\angle AOC=180^{\circ} -\angle OAC-\angle OCA=180^{\circ} -\frac{1}{2} (\angle BAC+\angle BCA)=180^{\circ} -62^{\circ} =118^{\circ}\]

Ответ \angle AOC=118^{\circ}
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC провели биссектрисы AK,\ BN и CL, которые пересекаются в точке O. Биссектриса AK точкой пересечения делится в отношении 4:3, считая от вершины. Найти периметр треугольника ABC, если BC=24 см.
Пример 2, точка пересечения биссектрис треугольника
Решение Рассмотрим треугольник AKC, в котором CO – биссектриса. По свойству биссектрисы

    \[\frac{AO}{OK} =\frac{AC}{KC} =\frac{4}{3} ,\]

откуда 3AC=4KC. Аналогично для треугольника ABK получим соотношение 3AB=4BK. Складываем полученные равенства

    \[3AC+3AB=4KC+4BK,\]

    \[3(AC+AB)=4(KC+BK)=4BC=4\cdot 24=96,\]

    \[AC+AB=\frac{96}{3} =32 cm \]

Тогда периметр треугольника ABC будет равен

    \[P=AB+AC+BC=32+24=56 cm \]

Ответ P=56 см