Свойства биссектрис трапеции
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Биссектрисой угла трапеции называется луч, проведенный из вершины трапеции и делящий угол пополам.
Свойства биссектрисы угла трапеции
- Биссектриса отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона:
. - Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом:
. - Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции.
- Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию.
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | В трапеции  биссектрисы углов  и  пересекаются в точке  . Найти боковую сторону  , если  см,  см.
|
| Решение | Так как биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом, то  – прямоугольный. Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем гипотенузу :
|
| Ответ |  см
|
![\[AB=\sqrt{A{{O}^{2}}+O{{B}^{2}}}=\sqrt{25}=5 \ cm\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4a65ceab5d102ed612c096540584c41a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
ПРИМЕР 2
| Задание | В трапеции с боковой стороной  см и  провели биссектрису угла . Найти площадь треугольника, который отсекла биссектриса от трапеции.
|
| Решение | В трапеции проведем биссектрису угла . Она пересечет верхнее основание в точке  . Из свойства биссектрисы трапеции следует, что  . Рассмотрим равнобедренный треугольник  , в котором  , а  . Найдем площадь треугольника:
|
| Ответ |  см
|
![\[{{S}_{\Delta ABK}}=\frac{1}{2}AB\cdot BK\sin \angle ABK=\frac{1}{2}\cdot {{6}^{2}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3} \ {{cm}^{2}}\]](http://ru.solverbook.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f5d1bd9efded48cf743c8976edacdaec_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
