Биссектриса в равнобедренном треугольнике
Определение и формулы биссектрисы равнобедренного треугольника
Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.
В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, лежащего против основания, является медианой и высотой.
Три биссектрисы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке, называемой инцентром треугольника.
Для биссектрисы равнобедренного треугольника справедливы следующие утверждения:
- Биссектрисы делят противоположные боковые стороны треугольника на части, пропорциональные прилегающим сторонам:
- Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
- Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
- Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.
Примеры решения задач
Задание | В равнобедренном треугольнике провели биссектрисы и , которые пересекаются в точке . Найти угол , если .
|
Решение | Поскольку треугольник равнобедренный, то углы при основании равны:
Рассмотрим треугольник . Так как и – биссектрисы углов и соответственно, то
Тогда, согласно теореме про сумму углов треугольника,
|
Ответ |
Задание | В равнобедренном треугольнике с боковой стороной см и основанием см провели биссектрису . Найти длины отрезков и .
|
Решение | В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, а значит
Биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам, т.е.
Пусть , тогда , отсюда
Таким образом,
Получили, что см, а см. |
Ответ | см, см |