Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Биссектриса в равнобедренном треугольнике

Определение и формулы биссектрисы равнобедренного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Биссектриса угла – это луч, делящий данный угол пополам.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Биссектриса в равнобедренном треугольнике

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, лежащего против основания, является медианой и высотой.

Три биссектрисы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке, называемой инцентром треугольника.

Для биссектрисы равнобедренного треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Биссектрисы делят противоположные боковые стороны треугольника на части, пропорциональные прилегающим сторонам:
  •     \[\frac{CL}{LB} =\frac{AC}{AB} \]

  • Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.
  • Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.
  • Биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника перпендикулярны.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В равнобедренном треугольнике ABC провели биссектрисы AL и CK, которые пересекаются в точке O. Найти угол AOC, если \angle B=100^{\circ}.
Пример 1, биссектриса в равнобедренном треугольнике
Решение Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны:

    \[\angle A=\angle C=\frac{180^{\circ} -\angle B}{2} =40^{\circ} \]

Рассмотрим треугольник AOC. Так как AL и CK – биссектрисы углов A и C соответственно, то

    \[\angle OAC=\angle OCA=\frac{40^{\circ}}{2} =20^{\circ} \]

Тогда, согласно теореме про сумму углов треугольника,

    \[\angle AOC=180^{\circ} -20^{\circ} -20^{\circ} =140^{\circ} \]

Ответ \angle AOC=140^{\circ}
ПРИМЕР 2
Задание В равнобедренном треугольнике ABC с боковой стороной AB=8 см и основанием AC=6 см провели биссектрису AK. Найти длины отрезков BK и KC.
Пример 2, биссектриса в равнобедренном треугольнике
Решение В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, а значит

    \[BC=AB=8 cm \]

Биссектриса AK делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам, т.е.

    \[\frac{BK}{KC} =\frac{AB}{AC} \]

Пусть BK=x, тогда KC=8-x, отсюда

    \[\frac{x}{8-x} =\frac{8}{6} \]

Таким образом,

    \[6x=8(8-x)\Leftrightarrow x=\frac{32}{7} \]

Получили, что BK=\frac{32}{7} см, а KC=8-\frac{32}{7} =\frac{24}{7} см.

Ответ BK=\frac{32}{7} см, KC=\frac{24}{7} см