Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Медиана в равнобедренном треугольнике

Определение и формулы медианы равнобедренного треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Медиана треугольника – это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны этого треугольника.
Медиана в равнобедренном треугольнике

В равнобедренном треугольнике медиана, опущенная на основание, является высотой и биссектрисой.

Для медиан равнобедренного треугольника справедливы следующие утверждения:

  • Медианы равнобедренного треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.
  • Медиана разбивает равнобедренный треугольник на два треугольника с одинаковой площадью.
  • Весь равнобедренный треугольник делится своими медианами на шесть равновеликих (т.е. с одинаковой площадью) треугольников.

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, вычисляется по формуле:

    \[m_{c} =\frac{1}{2} \sqrt{4a^{2} -c^{2}} ,\]

где c – основание равнобедренного треугольника, a – боковые стороны треугольника.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона AB=4 см и угол при основании равен 75^{\circ}. Найти медиану, проведенную к стороне BC.
Пример 1, медиана в равнобедренном треугольнике
Решение Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC (рис. 1), в котором

    \[AB=BC=4 cm \]

и

    \[\angle A=\angle C=75^{\circ} \]

Тогда

    \[\angle B=180^{\circ} -75^{\circ} -75^{\circ} =30^{\circ} \]

Проведем медиану AL к стороне BC, которая разделит ее на равные отрезки

    \[BL=LC=2cm\]

Рассмотрим треугольник ABL и, пользуясь теоремой косинусов, найдем AL:

    \[AL^{2} =AB^{2} +BL^{2} -2\cdot AB\cdot BL\cdot \cos B=\]

    \[=16+4-2\cdot 4\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} =20-8\sqrt{3} =4(5-2\sqrt{3} )\]

тогда

    \[AL=2\sqrt{5-2\sqrt{3}} cm\]

Ответ AL=2\sqrt{5-2\sqrt{3}} см
ПРИМЕР 2
Задание В равнобедренном треугольнике ABC боковая сторона на 1 см меньше основания, а медиана, проведенная к основанию, равна 4 см. Найти площадь треугольника ABC.
Пример 2, медиана в равнобедренном треугольнике
Решение В равнобедренном треугольнике ABC проведем медиану BK=4 см к основанию AC. Пусть AC=x см, тогда AB=(x-1) см, а AK=\frac{x}{2} см. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то медиана BK является и высотой. Следовательно, треугольник ABK – прямоугольный. Запишем для него теорему Пифагора:

    \[AB^{2} =AK^{2} +BK^{2} \]

или

    \[(x-1)^{2} =\frac{x^{2}}{4} +16,\]

    \[x^{2} -2x+1=\frac{x^{2}}{4} +16,\]

    \[3x^{2} -8x-60=0\]

Решая квадратное уравнение, получаем положительный корень x=6. Таким образом,

    \[AC=6 cm \]

Тогда площадь треугольника ABC равна

    \[S=\frac{1}{2} \cdot AC\cdot BK=\frac{1}{2} \cdot 6\cdot 4=12 cm ^{2} \]

Ответ S_{\Delta ABC} =12 см ^{2}