Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Биссектриса в прямоугольном треугольнике

Определение и формулы биссектрисы в прямоугольном треугольнике

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Биссектриса угла треугольника – это луч, который исходит из вершины треугольника, и делит данный угол пополам.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла.

Биссектриса в прямоугольном треугольнике

Биссектриса делит противоположную сторону треугольника на части, пропорциональные прилегающим сторонам:

    \[\frac{AB}{AC} =\frac{BK}{KC} \]

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой c, острыми углами \alpha и \beta. Проведем биссектрису прямого угла l_{c}. Ее длина выражается через длины катетов следующим образом:

    \[l_{c} =\sqrt{2} \frac{ab}{a+b} \]

Проведем биссектрису l_{a} острого угла \alpha, тогда

    \[l_{a} =\frac{b}{\cos(\alpha / 2)} \]

или

    \[l_{a} =b\cdot \sqrt{\frac{2c}{b+c}} \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В прямоугольном треугольнике с катетами a=6 см и b=8 см найти длину биссектрисы, проведенной к стороне a.
Решение Найдем длину гипотенузы c. По теореме Пифагора

    \[c=\sqrt{a^{2} +b^{2}} =\sqrt{36+64} =10cm\]

Длину биссектрисы, проведенной к стороне a, вычислим по формуле:

    \[l_{a} =b\cdot \sqrt{\frac{2c}{b+c}} =8\cdot \sqrt{\frac{2\cdot 10}{8+10}} =\frac{8\sqrt{10}}{3} cm \]

Ответ l_{a} =\frac{8\sqrt{10}}{3} см
ПРИМЕР 2
Задание Биссектриса прямого угла треугольника ABC делит гипотенузу на отрезки 30 см и 40 см. Найти периметр этого треугольника.
Решение Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведем биссектрису BK. По условию задачи BK=30 см и KC=40 см. Поскольку биссектриса делит противоположную сторону треугольника на части, пропорциональные прилегающим сторонам, то

    \[\frac{BK}{KC} =\frac{AB}{AC} =\frac{30}{40} =\frac{3}{4} \]

Пусть AB=3x, а AC=4x, тогда гипотенуза

    \[BC=\sqrt{9x^{2} +16x^{2}} =5x\]

По условию длина гипотенузы

    \[BC=BK+KC=30+40=70 cm \]

Таким образом,

5x=70, откуда x=14

Тогда AB=42 см, а AC=56 см.

Периметр треугольника

    \[P=AB+BC+AC=42+70+56=168 cm \]

Ответ P =168 см