Точка пересечения высот треугольника

Определение и точка пересечения высот треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Из каждой вершины треугольника можно опустить высоту.

Три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот лежит внутри треугольника (рис. 1, а), если тупоугольный – то вне треугольника (рис. 1, б), в прямоугольном треугольнике эта точка находится в вершине прямого угла (рис. 1, в).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

В треугольнике с углами $46^{\circ}$ и $68^{\circ}$ найти угол между высотами, опущенными из вершин этих углов.

Пример 1, точка пересечения высот треугольника

Решение

Рассмотрим треугольник $ABC$ , в котором $\angle A=46^{\circ}$ и $\angle C=68^{\circ}$ . Опустим высоты $AL$ и $CK$ . Они пересекутся в точке $O$ . Из прямоугольного треугольника $AKC$ найдем величину угла $ACK$ :

$\angle ACK=90^{\circ} -46^{\circ} =44^{\circ} ,$

а из прямоугольного треугольника $ALC$ величину угла $CAL$ :

$\angle CAL=90^{\circ} -68^{\circ} =22^{\circ}$

Тогда из треугольника $AOC$ :

$\angle AOC=180^{\circ} -44^{\circ} -22^{\circ} =114^{\circ}$

Ответ

$\angle AOC=114^{\circ}$

ПРИМЕР 2

Задание

В треугольнике $ABC$ провели высоты $AA_{1},\ BB_{1}$ и $CC_{1}$ , которые пересеклись в точке $H$ . Доказать, что радиусы окружностей, описанных около треугольников $ABC,\ AHB,\ BHC,\ AHC$ , равны.