Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Точка пересечения высот треугольника

Определение и точка пересечения высот треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Из каждой вершины треугольника можно опустить высоту.

Точка пересечения высот треугольника

Три высоты в треугольнике пересекаются в одной точке и эту точку называют ортоцентром треугольника.

Если треугольник остроугольный, то точка пересечения высот лежит внутри треугольника (рис. 1, а), если тупоугольный – то вне треугольника (рис. 1, б), в прямоугольном треугольнике эта точка находится в вершине прямого угла (рис. 1, в).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание В треугольнике с углами 46^{\circ} и 68^{\circ} найти угол между высотами, опущенными из вершин этих углов.
Пример 1, точка пересечения высот треугольника
Решение Рассмотрим треугольник ABC, в котором \angle A=46^{\circ} и \angle C=68^{\circ}. Опустим высоты AL и CK. Они пересекутся в точке O. Из прямоугольного треугольника AKC найдем величину угла ACK:

    \[\angle ACK=90^{\circ} -46^{\circ} =44^{\circ} ,\]

а из прямоугольного треугольника ALC величину угла CAL:

    \[\angle CAL=90^{\circ} -68^{\circ} =22^{\circ} \]

Тогда из треугольника AOC:

    \[\angle AOC=180^{\circ} -44^{\circ} -22^{\circ} =114^{\circ} \]

Ответ \angle AOC=114^{\circ}
ПРИМЕР 2
Задание В треугольнике ABC провели высоты AA_{1},\ BB_{1} и CC_{1}, которые пересеклись в точке H. Доказать, что радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC,\ AHB,\ BHC,\ AHC, равны.
Пример 2, точка пересечения высот треугольника
Доказательство Рассмотрим треугольник ABC. Из теоремы синусов следует, что радиус описанной окружности можно найти из равенства

    \[R=\frac{AC}{2\sin \angle ABC} \]

Рассмотрим треугольник AHC, для которого

    \[R=\frac{AC}{2\sin \angle AHC} \]

Из четырехугольника C_{1}HA_{1}B следует, что

    \[\angle C_{1} HA_{1} =180^{\circ} -\angle ABC\]

Поскольку \angle AHC=\angle C_{1} HA_{1} (как вертикальные), то

    \[R=\frac{AC}{2\sin (180^{\circ} -\angle ABC)} =\frac{AC}{2\sin \angle ABC} \]

Аналогично доказывается равенство остальных радиусов.

Что и требовалось доказать.